стани милионер

[ivan zdravkov]

Здравейте,
Доста отдавна съм учил теория на вероятностите, но ако случайно сте гледали играта „Стани милионер” , ми стана интересно да изчисля вероятностите. Уточнявам , че не е желание да играя , а от чисто математическо любопитство.

Условие на задачата:
Имаме 3 числа- двуцифрено, трицифрено и петцифрено. Всички цифри в тези числа са от 0 до 9 , включително, без да се повтарят.
Пример: 24, 309, 15867
Теглим цифри от 0 до 9 последователно.
Въпросът е:
-Каква е вероятността да се изтегли най-напред двуцифреното число преди да бъде изтеглено трицифреното или петцифреното?
-Каква е вероятността да се изтегли най-напред трицифреното число преди да бъде изтеглено двуцифреното или петцифреното?
-Каква е вероятността да се изтегли най-напред петцифреното число преди да бъде изтеглено двуифреното или трицифреното?


Успех ! )

[ivan zdravkov]

"Теглим цифри от 0 до 9 последователно" - съм имал предвид , че изтегляме 10 цифри на случаен принцип една след друга. Цифрите са от 0 до 9 включително.
Не съм имал предвид , че теглим 0, 1 , 2 и т.н. Съжелявам , че не съм се изразил коректно.

[L.e.o]

Кой определя кое число ще се тегли 1во?
Така както се дал условието на задачата е все едно случайно.
Демек, 1/3 шанс 1вото изтеглено число да е дву, три или петцифрено.

[ivan zdravkov]

Здравей L.e.o. ,
Погледни двете клипчета:
http://vbox7.com/play:2253c078c2
http://vbox7.com/play:9637760cd8

При изтегляне на първа цифра-няма вероятност да си познал едно от числата.
При втора- има вероятност да си познал единствено двуцифреното, за другите числа цифрите не стигат.
При три цифри- може да си познал двуцифрено, може трицифрено,но може и да не си уцелил, за петцифрено Р=0.
При четири цифри възможността е като при три. / Вероятностите са различни !/
При пет цифри може да си познал някое от трите числа , но може и да не си.
Логиката показва , че при теглене на осма цифра задължително си познал поне едно число, но може и да си познал и две. При този случай играта няма да достигне до тук , а ще е приключила на етапа на познаването на което число е било първо позната.

Най-благоприятният вариант е когато изтеглим всички цифри на петцифреното , без преди това да сме изтеглили всички цифри на трицифреното или двуцифреното число. - печелите 50 000 лева.

Най-голяма е вероятността за двуцифреното- съжелявам печелите САМО 10 000 лева.

Успех в анализа !

[L.e.o]

Трябваше да започениш с тези линкове за неуките.
Задачата се свежда до:
Имаме в 1 торба 10 топки: 5 червени, 3 сини и 2 зелени.
Теглят се топки от торбата докато не се извадят всички топки от даден цвят.
Как е вероятността да извадим даден цвят?

Играта 100% приключва при 8 извадени топки. Тогава все някой цвяр ще е изваден.
Нека 1во намерим вер. червеният да се извади.
С 5 вадения: Р5 = 5.4.3.2.1/10.9.8.7.6 = 1/252
С 6 вадения: Р6 = 1/252 * бином(6/5) = 6/252
С 7 вадения: р = 1/252* бином(7/5) = 21/252 . Но това е вероятност, която включва и вероятността от първите 6 тегления да изтеглим 2 зелени и така няма да има 7мо теглене. Вер. да се изтегл. 2 зелени от 6 тегления е: 2/10*1/9 * бином(6/2) = 1/45 * 15 = 1/3. Тоест трябва да махнем 1/3 от 21/252. Получава се Р7= 14/252.
С 8 вадения: р = 1/252* бином(8/5) = 56/252. Тук трябва да извадим комб, в които се вадят с първите 7 тегления 2 зелени и/или 3 сини.
Вер. за 2 зелени от 7 тегления: 2/10*1/9 * бином(7/2) = 7/15. Умножаваме по 8/15 за да ги изключим.
Вер. за 3 сини от 7 тегления: 3/10*2/9*1/8 *бимон(7/3) = 7/24. Умножаваме по 17/24 за да ги изключим.
Р8 = 56/252 * 7/15 * 7/24 = 7*49/252*45

Вер. да се извади червен цвят е Р5+Р6+Р7+Р8 = 1603/11340

[choko]

Не съм много добър по вероятности и започнах по малко примитивен начин и получих известно разминаване за вероятността да се извади червена от 6 тегления. Дори не знам какво е бином (6/5) ,но ако е комбинация 5 от 6 ,според мен трябва да е комбинация 4 от 5. В противен случай се разглежда и вероятността първите 5 да са червени а 6ия да е зелена или синя, но ако първите 5 са червени играта ще приключи.

[L.e.o]

Изпуснал си 6тия вариант да се паднат 5 червени от 6 тегления:
ч-ч-ч-ч-ч-Х. Пак ще е 1/252.
Реално това е вероятността да се изтеглят 5 червени от 5 тегления, като 6тото е фиктивно, защото 6тия множител ще бъде 5/5 (5/10 * 4/9 * 3/8 * 2/7 * 1/6 * 5/5)
Но тъй като разглеждаме комбинации от 6 тегления, не трябва да изклюваме и варианта, при който сме спечелили само с 5 тегления.

Няма нужда да разписваш вероятността на всеки вариант. Както виждаш те са еднакви.
Взимаш 1вия вариант примерно: Х-ч-ч-ч-ч-ч и намираш че е 1/252.
След което се питаш: По колко начина от 6 тегления могат да се паднат 5 червени топки. Това се намира с бином (n/k)
n - всички опити; к - печелившите.
В случея (6/5) = 6!/5!(6-5)! = 6

Биномите дават бройката печеливши комбинации и като умножим по вер. за печеливш вариант намираме вер. за успех.
6 * 1/252 = 6/252

[L.e.o]

Пример:
В торба има 2 бели и 2 черни топки. Каква е вер. от 3 тегления да извадим 2 бели?
Примерно си избираме комбинацията: черна+бяла+бяла = 2/4 * 2/3 * 1/2 = 1/6
Бимон (3/2) = 3
Р = 3 * 2/4 * 2/3 * 1/2 = 1/2

Ако разпишем всички комбинации:
ООХ, ОХО, ХОО, ХХО, ХОХ, ОХХ - 6 комбинации, от които само 3 имат две кръгчета. 3/6=1/2


Ако нещо те съмнява в логиката ти, опитвай се да си поставяш по-прост пример, където е очевидно колко е верният отговор. 6 комбинации се разписват лесно, 252 - малко по-трудно.

По твоята логика не трябваше да броим комбинацията бяля-бяла-черна, защото при бяла-бяла сме вече спечелили. Но това не е правилно както се вижда.

[choko]

Благодаря ти за разясненията ,но дори и с тях нещо не ми се получава

[L.e.o]

Тази таблица хич не я разбирам.
Бином е: http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1% ... 0%BE%D0%BC
Почвам от начало като задачата я правя по-лесна:
Вместо:
Имаме в 1 торба 10 топки: 5 червени, 3 сини и 2 зелени.
Теглят се топки от торбата докато не се извадят всички топки от даден цвят.
Как е вероятността да извадим даден цвят?

Решаваме:
Имаме в 1 торба 10 топки: 5 червени, 3 сини и 2 зелени.
Теглят се топки торбата
Как е вероятността да извадим даден цвят при различни на брой тегления?

В този случей като се изтегли даден цвят не приключва играта. Целта да разбереш малко биномите.
Ще означавам с ч с и з вероятностите да се извади даден цвят. Примерно С3 ще е вероятността да се синия цвят от 3 тегления.

Изтеглена 1 топка
Очевидно ч1,с1,з1 = 0
Изтеглени са 2 топки
ч2,с2 = 0
з2 = 2/10 * 1/9 = 1/45
Изтеглени са 3 топки
ч3 = 0
с3 = 3/10 * 2/9 * 1/8 = 1/120
з3 = 2/10 * 1/9 * (3/2) = з2 * (3/2) = 2/10 * 1/9 * 3
Изтеглени са 4 топки
ч4 = 0
с4 = с3 * (4/3) = с3 * 4
з4 = з2 * (4/2) = з2 * 6
Изтеглени са 5 топки
ч5 = 5.4.3.2.1 / 10.9.8.7.6 = 1/252
с5 = с3 * (5/3) = с3 * 10
з5 = з2 * (5/2) = з2 * 10
Изтеглени са 6 топки
ч6 = ч5 * (6/5) = ч5 * 6
с6 = с3 * (6/3) = с3 * 20
з6 = з2 * (6/2) = з2 * 15
Изтеглени са 7 топки
ч7 = ч5 * (7/5) = ч5 * 21
с7 = с3 * (7/3) = с3 * 35
з7 = з2 * (7/2) = з2 * 21
Изтеглени са 8 топки
ч8 = ч5 * (8/5) = ч5 * 56
с8 = с3 * (8/3) = с3 * 56
з8 = з2 * (8/2) = з2 * 28
Изтеглени са 9 топки
ч9 = ч5 * (9/5) = ч5 * 126
с9 = с3 * (9/3) = с3 * 84
з9 = з2 * (9/2) = з2 * 36
Изтеглени са 10 топки
ч10 = ч5 * (10/5) = ч5 * 252 = 1
с10 = с3 * (10/3) = с3 * 120 = 1
з10 = з2 * (10/2) = з2 * 45 = 1 , което си е очаквано да са вече на 100% като са изтеглени всички топки

Да се върнем на обратно на играта Играта. (Преразказвам 1вия си пост с решението)
Поне един цвят ще бъде изтелген на 100% при 8 изтеглени топки. Тоест при 8 изтеглени топки играта 100% приключва.
Тук разликата е, че ако вземем ч8,с8 и з8, те няма да дадат правилен отговор. От тях трябва да се извадят комбинациите, при които от 7 извадени топки някой от другите цвето е вече бил изваден и тогава изобщо няма да има 8мо теглене.
с7 и з7 дават вер. да са извадени синия или зеленият цвят от 7 тегленият. Тоест (1-с7) и (1-з7) дават вер. те да НЕ бъдат.
Тоест:
Вероятността червения цвят да спечели играта = ч8*(1-с7)(1-з7) Аналогично пишем решенията и за другите два цвята:
Вероятността синият цвят да спечели играта = с8*(1-ч7)(1-з7)
Вероятността зеленият цвят да спечели играта = з8*(1-ч7)(1-с7)

Ако нещо не ти е ясно, питай.

[choko]

Благодаря ти за отзивчивостта ,но явно и тази нощ няма да се спи от вчера не ми дава мира тази задача, сега явно пак някъде греша на 2рия етап при изваждането на комбинациите ?!

Вероятността да се изтегли зелена от 2 тегления =1/45
Вероятността да се изтегли зелена от 3 тегления =1/15
Вероятността да се изтегли зелена от 4 тегления =2/15
Вероятността да се изтегли зелена от 5 тегления =(2/9)*(1-с4)=2/9*(1-1/30)=29/135
Вероятността да се изтегли зелена от 6 тегления =(1/3)*(1-c5)=1/3*(1-1/12)=41/108
Вероятността да се изтегли зелена от 7 тегления =
=(7/15)*(1-c6)*(1-ч6)=7/15*(1-1/6)*(1-1/42)=41/108
Вероятността да се изтегли зелена от 8 тегления =28/45*(1-7/24)*(1-1/12)=141/349

Вероятността да се изтегли синя от 3 тегления =1/120
Вероятността да се изтегли синя от 4 тегления =1/30
Вероятността да се изтегли синя от 5 тегления =1/12*(1-з4)=1/12*(1-2/15)=13/180
Вероятността да се изтегли синя от 6 тегления =1/6*(1-з5)=1/6*(1-2/9)=7/54
Вероятността да се изтегли синя от 7 тегления =7/24*(1-з6)=(1-1/3)=7/36
Вероятността да се изтегли синя от 8 тегления =7/15*(1-з7)(1-ч7)=7/15(1-7/15)*(1-1/12)=154/675

Вероятността да се изтегли червена от 5 тегления=1/252
Вероятността да се изтегли червена от 6 тегления=1/42
Вероятността да се изтегли червена от 7 тегления=1/12*(1-з6)*(1-с6)=1/12*(1-1/3)*(1-1/6)=5/108
Вероятността да се изтегли червена от 8 тегления=
=2/9*(1-з7)*(1-с7)=2/9*(1-7/15)*(1-7/24)=34/405
Мисля си за друг вариант на решение например да разсъждаваме така, каква е вероятността да се изтегли червен цвят от 8то теглене ,това означава да намерим вероятността останалите 2 топки да са синя и зелена .

[L.e.o]

"Мисля си за друг вариант на решение например да разсъждаваме така, каква е вероятността да се изтегли червен цвят от 8то теглене ,това означава да намерим вероятността останалите 2 топки да са синя и зелена."

Не е вярно. Примерно:
ч+ч+ч+ч+ч+з+з+с , неизтеглените топки са с+с, но въпреки това червеното печели.

---
Червените да спечелят съм написал: ч8(1-с7)(1-з7). Това е грешно.
От ч8 по друг начин трябва да се извадят вариантите, при които друг цвят печели.Както и за з8 и с8. Ще помисля.

[choko]

ако фиксираме ,че 8та изтеглена е червена.Например: с з с ч ч ч ч ч с з =3*2*2*5*4*3*2*1*1*1/10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=1/2520 разглеждаме по колко начина могат да се подредят четирите червени пред 8та която фиксирахме, като червена както и 2те зад нея ! Пред нея имама комбинация 4 от 7 =35 , а зад нея комбинация 1 от 2=2 .като умножим (1/2520) *35 *2=1/36

[choko]

Мисля ,че я реших поне като събера вероятностите се получава 1ца

[L.e.o]

Ама ако последните две са с и з, то както и да подредиш червените все ще печелят.

[choko]

Първото което направих е ,че като смятам вероятността за даден цвят да бъде изтеглен, например червен на 6то теглене не взимам предвид варианта когато червените са изтеглени по-рано (на 5то в сл.) според мен вероятността е 5/252 ,а не 6/252.Ще се опитам да поясна защо. Ако играта приключва на 6то теглене с победител червен цвят това означава ,че 6тата изтеглена топка е червена: например ч ч (с или з) ч ч ч .Остава да се запитаме по колко начина могат да се подредят предните 4 червени във възможните 5 тегления. Това е комбинация 4 от 5 което е равно на 5 .Умножаваме 1/252 *5 и така намираме вероятността червените да спечелят на 6тото теглене .Другото което трябва да се съобрази например червените да спечелят при 7 теглене .Аналогично разсъждавам и смятам ,ако 7та е червена по колко начина могат да се подредят другите 4 червени в предните 6 тегления .Това е комбинация 4 от 6 =15 .Умножавам по 1/252 с 15 и получавам 15/252 , но тук има вероятност в изтеглените 7 топки да има 2 зелени. ч ч х х ч ч ч и тогава играта ще приключи .Трябва да намерим каква е вероятността в 2те изтеглени топки поне една да е синя =вероятността едната да е синя + вероятността и двете да са сини. Вероятността едната да е синя е 3/5 * 2/4 по комбинация 1 от 2 =6/10 .Вероятността и двете да са сини е 3/5 *2/4=3/10. И така 3/10 + 6/10=9/10.Умножаваме 9/10 *15/252 и получаваме вероятността да спечелят червените при 7 теглене .Аналогично за 8 теглене и за другите цветове намерих вероятностите и като ги събрах се получи 100% което ме навежда на мисълта ,че това е решението.

[choko]

Пример:
В торба има 2 бели и 2 черни топки. Каква е вер. от 3 тегления да извадим 2 бели?
Примерно си избираме комбинацията: черна+бяла+бяла = 2/4 * 2/3 * 1/2 = 1/6
Бимон (3/2) = 3
Р = 3 * 2/4 * 2/3 * 1/2 = 1/2

Ако разпишем всички комбинации:
ООХ, ОХО, ХОО, ХХО, ХОХ, ОХХ - 6 комбинации, от които само 3 имат две кръгчета. 3/6=1/2


Ако нещо те съмнява в логиката ти, опитвай се да си поставяш по-прост пример, където е очевидно колко е верният отговор. 6 комбинации се разписват лесно, 252 - малко по-трудно.

По твоята логика не трябваше да броим комбинацията бяля-бяла-черна, защото при бяла-бяла сме вече спечелили. Но това не е правилно както се вижда.

Задачата е не каква е вероятността да изтеглим 2 бели от 3 тегления ,а вероятността при 3тото теглене да изтеглим 2рата бяла.

[L.e.o]

Не мисля, че си прав да не включваш вариантите, при които по-рано е вече спечелил разглеждан цвят.
Пример: Изтеглени са 3 топки. Каква е вер. зеленият цвят да е спечелил?
По твоята логика това е 2/45, а не 3/45. Донякъде си прав, но да се е спечелил зеленият свят пти 3тото теглене, значи че е имал шанс да спечели и при 2 тегления само.
Тоест: Шанса да спечели зеленият при 3 тегления = шанса да спечели по 2 тегления + шанса да спечели при точно 3 тегления = 1/45 + 2/45 = 3/45

В крайна сметка ти го вкючваш, просто на друг етап. Ти не го добавяш този последен вариант веднага, а малко по-късно като го умножаваш по допълнителна вероятност.

И аз получих 9/56 за червеното, но по обратният път.

ч8 = 2/9 (броил съм си всички варианти)
Имаме 8 изтеглени топки, от които 5 са червени.
Вероятстите цветовете на другите 3 да са:
с+с+с = 1/10
с+с+з = 6/10
с+з+з = 3/10
При ссс, за да спечели червеното, 8мата топка трябва да е синя. Вер. за това е 3/8
При с+с+з, червеното печели на 100%.
При с+з+з, червеното печели ако последната топка е зелена или ако последната е синя и предпоследната е зелена. Вер. за това е (2/8 + 1/8*2/7)
Добавяме допълните вероятности към ч8 да за осигурим победа на червеното:
Ч = 2/9 [1/10 * 3/8 + 6/10 * 1 + 3/10 * (2/8 + 1/8*2/7)] = 9/56

По нататък не съм го мислил, но щом се получава единица значи си оцелил и другите 2 вероятности.
Странно защо дават 50к за 3та награда. Вероятността да се падне е с 50% по-висока спрямо отношението с другите награди. Ако 1ва и 2ра награда са 10к и 15к, то щом 3та има шанс да се падне 9/56, то трябва да е 30-35к. Предполагам, че е с рекламен трик това 50к - изглежда и звучи по-добре от 30к.

В казината игрите поне са със солидни сметки - наградата е по-малка от вер. да я спечелиш.

[choko]

Аз не твърдя ,че да изтеглим 2 зелени от 3 тегления е 2/45 .А че вероятността да изтеглим 2 зелени точно от 3тото тегленее е 2/45 , защото именно това е целта на играта .Вероятността да изтеглим 2 зелени от точно 2 тегления е вече разгледана и нямаме основание да я включим. з х з =2/10*8/9*1/8+ другия варинат последните 2 да са зелени а предната синя или червена х з з =8/10*2/9*1/8= 1/45+1/45=2/45
Не разбрах как точно я решаваш ,но както писах не съм много добър по вероятности.Важното е ,че с общи усилия успяхме ,а относно сумите по скоро долните 2 са подценени

[L.e.o]

1во съм намерил вер. да се паднат 5 червени от 8 топки. След което намирам под-вероятности останалите 3 топки какви могат да бъдат (1/10 да са 3 сини, 6/10 да са 2сини+зелена, 3/10 да са синя+2зелени), след което намираме вероятностите тези 3 топки да не прецакват победата на червените.
Ч = 2/9 [1/10 * 3/8 + 6/10 * 1 + 3/10 * (2/8 + 1/8*2/7)] = 9/56
2/9 вероятност да имаме 5 червени от 8 топки * 1/10 вероятност другите 3 топки да са сини * 3/8 вер. 8мата топка да е синя (че да спечели вервеното)
+
2/9 вер. да имаме 5 червени от 8 топки * 3/10 вер. другите 3 топки да са 2сини+зелена * 1 (при такива топки вервеното печели при всички комбинации)
+
2/9 вер. да имаме 5 червени от 8 топки * 6/10 вер. другите 3 топки да са 2зелени+синя * (2/8 8мата топка да е зелена + 1/8*2/7 8мата топка ако е синя то 7мата да е зелена)
=
9/56

Аз я решавам като намирам всички комбинации за 5 червени от 8 топки и вадя тези, при които другите изтеглени 3 топки прецакват победата на червените.
Ти я решаваш като разглеждаш директно само печелившите случаи за червените при различни тегления (от 5 до 8) като накрая ги сумираш.