Кирвата с: x^3=3y, намерете уравнението на допирателната в т

[Гост]

Здравейте, може ли някой да помогне с тези задачи.

[peyo]

Зад. 0.1
а)
$x^3=3y$
Стоиността на допирателната в точка М(x=1) е:
$y = 3x^2/3 = x^2 = 1$
Допирателната права g е
$y=x +C$
C ще определим от първоначалната функция в т. М y = 1/3
$1/3=1 +C$
$C=1 -1/3 = 2/3$
И така g е:
$y=x +2/3$
Нормалата е същата права завъртяна на 90 градуса вв точката М. В нашия случай 45 + 90 = -45. Така нормалата е:
$y=-x+C$
C ще определим пак в М:
$1/3=-1+C$
$C=1 +1/3 = 4/3$
Така нормалата е:
$y=-x+4/3$

б) (може да реша като разбера какво е еволюта)

[peyo]

Зад. 0.1
б) (може да реша като разбера какво е еволюта)

Ок, разбрах какво е еволюта: https://en.wikipedia.org/wiki/Evolute

По някаква причина работят в параметрична форма. Няма проблем, $c$ тогава става:
$x(t)=t$ , $y(t) = t^3/3$

$x'(t)=1$ , $x''(t)=0$
$y'(t)=2t$ , $y''(t)=2$
=>
$X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}\quad = t - {\frac {2t\cdot {\Big (}1 ^{2}+(2t) ^{2}{\Big )}}{1 \cdot 2 -0 \cdot 2t }} = t - {\frac {2t+(2t) ^{3}{}}{2 }} = 4t^3$

Подобно за $Y(t)$