Диференциални уравнения

[ivanina_96]

Здравейте. Имам затруднения със следната задача:
у"= - у+εу^(2) 0<ε<<1
у(0)=1 у'(0)= 0
и се иска да се реши по метода на малкия параметър. Някакви идеи?

[peyo]

Здравейте. Имам затруднения със следната задача:
$у"= - у+εу^2$ 0<ε<<1
у(0)=1 у'(0)= 0
и се иска да се реши по метода на малкия параметър. Някакви идеи?

Много интересно! Не бях чувал досега за такъв метод и е учудващо трудно да намеря в Интернет какво е това. Успях обаче да разбера малко в този paper:
h,urnal ~1 Mathct tatt~al .S'cten~ e~ ~JI 90. )/o. .5. I998
A RAPID METHOD OF SOLVING DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH A SMALL PARAMETER v. Ya. Skorobogat'ko

Който успях да намеря в sci hub. Там предлагат подобрен метод на малкия параметрър, но за щастие в началото има половин страница за стария метод. А новия метод не можах да го разбера. Затова ще решаваме по стария метод на
"The great French mathematician Henri Poincare [4] applied it to determine the orbits of the planets of the solar system."

Ще търсим power series на първите 3 елемента само и ще предполагаме, че това ще е супер добро приближение, защото ε било много-много малко.

$y = \phi_0 + \phi_1\epsilon + \phi_2\epsilon^2$

Да започнем с много Sympy и малко latex:

In [32]: var("x,y,eps,phi1,phi2,phi0,k")
Out[32]: (x, y, eps, phi1, phi2, phi0, k)

In [33]: y = phi0 + phi1*eps + phi2*eps**2

In [35]: expand(-y+eps*y**2)
Out[35]: eps**5*phi2**2 + 2*eps**4*phi1*phi2 + 2*eps**3*phi0*phi2 + eps**3*phi1**2 + 2*eps**2*phi0*phi1 - eps**2*phi2 + eps*phi0**2 - eps*phi1 - phi0

$\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d^2\phi_0}{dx^2} +\frac{d^2\phi_1}{dx^2} \epsilon +\frac{d^2\phi_2}{dx^2} \epsilon^2$


$\frac{d^2\phi_0}{dx^2} = - \phi_0$

$\frac{d^2\phi_1}{dx^2} = \phi_0^2 - \phi_1$

$\frac{d^2\phi_2}{dx^2} = 2\phi_0\phi_1 - \phi_2$

Да решаваме:

In [45]: phi0 = symbols("phi0", cls = Function)

In [46]: dsolve(phi0(x).diff(x,x) + phi0(x), phi0(x))
Out[46]: Eq(phi0(x), C1*sin(x) + C2*cos(x))

$\phi_0 = C1*sin(x) + C2*cos(x)$

In [50]: var("C1, C2")
Out[50]: (C1, C2)

In [51]: phi0 = C1*sin(x) + C2*cos(x)

In [59]: solve(phi0.subs(x,0)-1, [C1,C2])
Out[59]: [{C2: 1}]

In [60]: solve(diff(phi0,x).subs(x,0), [C1,C2])
Out[60]: [{C1: 0}]

In [61]: phi0 = cos(x)

In [62]: dsolve(phi1(x).diff(x,x) - phi0**2 + phi1(x), phi1(x))
Out[62]: Eq(phi1(x), C1*sin(x) + C2*cos(x) - sin(x)**4/3 + sin(x)**2 + cos(x)**4/3)

In [53]: print(latex(_))

$\phi_{1}{\left (x \right )} = C_{1} \sin{\left (x \right )} + C_{2} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{4}{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \cos^{4}{\left (x \right )} $

In [71]: solve(phi1.subs(x,0)-1, [C1,C2])
Out[71]: [{C2: 2/3}]

In [72]: solve(diff(phi1,x).subs(x,0), [C1,C2])
Out[72]: [{C1: 0}]

In [73]: phi1
Out[73]: C1*sin(x) + C2*cos(x) - sin(x)**4/3 + sin(x)**2 + cos(x)**4/3

In [74]: phi1.subs(C1, 0).subs(C2,2/3)
Out[74]: -sin(x)**4/3 + sin(x)**2 + cos(x)**4/3

In [77]: phi1 = simplify( -sin(x)**4/3 + sin(x)**2 + cos(x)**4/3 )

In [78]: phi1
Out[78]: sin(x)**2/3 + 1/3

In [85]: dsolve(phi2(x).diff(x,x) -2 * phi0*phi1 + phi2(x), phi2(x))
Out[85]: Eq(phi2(x), x*(cos(x)**2 + 2)*sin(x)**3/6 + x*sin(x)**5/12 + (-cos(x)**2 + 4)*sin(x)**2*cos(x)/12 + (C1 + x*cos(x)**4/12 + x*cos(x)**2/3)*sin(x) + (C2 + sin(x)**4/12 + cos(2*x)/4 - cos(4*x)/48)*cos(x))

In [86]: print(latex(_))
$\phi_{2}{\left (x \right )} = \frac{x}{6} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \sin^{3}{\left (x \right )} + \frac{x}{12} \sin^{5}{\left (x \right )} + \frac{1}{12} \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 4\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \left(C_{1} + \frac{x}{12} \cos^{4}{\left (x \right )} + \frac{x}{3} \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} + \left(C_{2} + \frac{1}{12} \sin^{4}{\left (x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{48} \cos{\left (4 x \right )}\right) \cos{\left (x \right )}$

In [87]: phi2 = x*(cos(x)**2 + 2)*sin(x)**3/6 + x*sin(x)**5/12 + (-cos(x)**2 + 4)*s
...: in(x)**2*cos(x)/12 + (C1 + x*cos(x)**4/12 + x*cos(x)**2/3)*sin(x) + (C2 +
...: sin(x)**4/12 + cos(2*x)/4 - cos(4*x)/48)*cos(x)

In [89]: solve(phi2.subs(x,0)-1, [C1,C2])
Out[89]: [{C2: 37/48}]

In [90]: solve(diff(phi2,x).subs(x,0), [C1,C2])
Out[90]: [{C1: 0}]

In [100]: phi2 = simplify(phi2.subs(C1, 0).subs(C2,37/48))

In [107]: print(latex(simplify(phi0 + phi1*eps + phi2*eps**2)))
$\frac{eps^{2}}{48} \left(20 x \sin{\left (x \right )} - 4 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 4 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} + 11 \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{eps}{3} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \cos{\left (x \right )}$

Или:

$y(x) = \frac{\epsilon^{2}}{48} \left(20 x \sin{\left (x \right )} - 4 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 4 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} + 11 \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{\epsilon}{3} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \cos{\left (x \right )}$

С което задачата е решена. (освен ако не сме сгрешили някъде, защото се оказа доста дълго решението дори само за първите 3 члена)

[ivanina_96]

благодаря Ви потърсих и второ мнение оказа се че е вярно... и решението е подобно мисля че е така

[Гост]

Здравейте, трябва да реша това уравнение до първия интеграл но нещо не ми се получава. Моля за помощ:
y``- asiny - csin2y = 0