Пеперуда

[Гост]

Пеперуда е кацнала върху лампа, чието местоположение е [tex](2,1,4)[/tex], в стая, чиято температура е зададена с [tex]f(x,y,z)= x^{3}+ y^{2}+z[/tex]. В каква посокa трябва да отлети пеперудата, за да се разхлади по най-бързия начин?

[ptj]

Вероятно по нормалния вектор в точката спрямо повърхността [tex]x^3+y^2+z=13[/tex].

[peyo]

Пеперуда е кацнала върху лампа, чието местоположение е [tex](2,1,4)[/tex], в стая, чиято температура е зададена с [tex]f(x,y,z)= x^{3}+ y^{2}+z[/tex]. В каква посокa трябва да отлети пеперудата, за да се разхлади по най-бързия начин?

Много интересна задача. Тук не е казано как точно се разхлаждат пеперудите, затова ще предположим, че търсения маршрут е винаги в посока на най-голямото намаляване на температурата. Това се свежда мисля до задачата за намиране на най-стръмното спускане в 4D. В такъв случай ще приложим методите описани в този документ:
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma131/directional.pdf

$ f= x^{3}+ y^{2}+z $

Градиента на тази функция е:

$\nabla f = \left( \frac{\delta f }{ \delta x}, \frac{\delta f }{ \delta y},\frac{\delta f }{ \delta z} \right) = \left( 3 x^{2}, 2y,1 \right) $

$x=x(t), y=y(t),z= z(t)$

Но най-стръмното спускане е $- \nabla f$. Така търсените функции са:
$x'(t) = -3 x^{2}$
$y'(t) = -2y$
$z'(t) = -1$

Това са диференциални уравнения и за да ги решим разделяме променливите по следния начин:

$ \frac{dx}{3 x^{2} }= -dt$
$ \frac{dy}{2y }= -dt$
$ dz= -dt$

интегрираме всяко

$- \frac{1}{3 x} + C_1 = -t$
$\frac{\log{\left(y \right)}}{2} +C_2 = -t$
$z +C_3=-t$

Решаваме спрямо x,y,z:

$x= \frac{1}{3 \left(C_1 + t\right)}$
$y = e^{- 2 C_2 - 2 t} $
$z= - t - C_3$

Според началните условия:

$x(0) = 2, y(0)=1, z(0)=4$

$ 2= \frac{1}{3 \left(C_1 + 0\right)}$
$C_1 = 1/6$

$1 = e^{- 2 C_2 - 2 *0} $
$C_2 = 0$

$4=0 - C_3$
$C_3=-4$

И така крайният отговор е:

$x= \frac{1}{3 \left(1/6 + t\right)}$
$y = e^{ -2 t} $
$z=-t +4$

[grav]

Peyo, според мен задачата е по-проста. Пита се само за посоката на отлитане т.е. - градиентта в дадената точка.

[peyo]

Peyo, според мен задачата е по-проста. Пита се само за посоката на отлитане т.е. - градиентта в дадената точка.

Аха! Имаш предвид, че търсим само $ - \nabla f$ в точката (2,1,4). Или това ще е:

$- \nabla f = \left( -3 x^{2}, -2y,-1 \right) = (-12, -2, -1)$

Ако е само това, то задачата е наистина много по-проста.

Но за пълнота и ако има пеперуда която иска да се охлади оптимално в точно тази стая, то моля да следва точно изчисления маршрут.