Пространствен ъгъл

[Гост]

Намерете пространствения ъгъл, определен от конуса [tex]x^{2}+ y^{2} \le 5 z^{2}, z \ge 0[/tex]

[peyo]

Намерете пространствения ъгъл, определен от конуса [tex]x^{2}+ y^{2} \le 5 z^{2}, z \ge 0[/tex]

Този ъгъл предполагам е ъгъла който се образува като пресечем конуса с равнината $x=0$ или $y=0$ или каква да е успоредна на оста Z. Да пробваме с $x=0$:

$x^{2}+ y^{2} = 5 z^{2}$
$y^{2} = 5 z^{2}$

Това има 2 решения:

$y = \sqrt{5} z$
$y = -\sqrt{5} z$

Това са прави линии и коефицента пред z е производната което е тангенса на ъгъла, а ние търсим 2 ъгъла. Така:

[tex]\alpha_1 = atan(\sqrt{5})*180/\pi = 65.9051574478893[/tex]
[tex]\alpha_2 = atan(-\sqrt{5})*180/\pi = -65.9051574478893[/tex]

Хм... Втория ъгъл не е много удобен така, да му вземем противоположния:
[tex]\alpha_2 = 180 + atan(-\sqrt{5})*180/\pi = 114.0948425521107[/tex]

И така получаваме:

$\alpha = \alpha_2 - \alpha_1 = 114.0948425521107 - 65.9051574478893 = 48.18968510422141$

[peyo]

Намерете пространствения ъгъл, определен от конуса [tex]x^{2}+ y^{2} \le 5 z^{2}, z \ge 0[/tex]

Този ъгъл предполагам е ъгъла който се образува като пресечем конуса с равнината $x=0$ или $y=0$ или каква да е успоредна на оста Z. Да пробваме с $x=0$:

$x^{2}+ y^{2} = 5 z^{2}$
$y^{2} = 5 z^{2}$

Това има 2 решения:

$y = \sqrt{5} z$
$y = -\sqrt{5} z$

Това са прави линии и коефицента пред z е производната което е тангенса на ъгъла, а ние търсим 2 ъгъла. Така:

[tex]\alpha_1 = atan(\sqrt{5})*180/\pi = 65.9051574478893[/tex]
[tex]\alpha_2 = atan(-\sqrt{5})*180/\pi = -65.9051574478893[/tex]

Хм... Втория ъгъл не е много удобен така, да му вземем противоположния:
[tex]\alpha_2 = 180 + atan(-\sqrt{5})*180/\pi = 114.0948425521107[/tex]

И така получаваме:

$\alpha = \alpha_2 - \alpha_1 = 114.0948425521107 - 65.9051574478893 = 48.18968510422141$

Хм... Май има по лесен начин за решение. Конуса е един завъртян по катета правоъгълен триъгълник. Върха е в (0,0,0). Да намерим на този триъгълник z в точката (x,y) = (0,1):

$0^{2}+ 1^{2} = 5 z^{2}$
$1 = 5 z^{2}$

$z = \sqrt{1/5}$

Така двата катета са 1 и \sqrt{1/5}. Тогава ъгъла е:

$\alpha = 2 * atan(1/\sqrt{1/5}) = 48.189685104221404 $

Ха! Почти същия отговор, но този е по-точен, защото правихме по-малко изчисления с floating point числа и загубихме по-малко точност.

[Гост]

dxd.PNG (49.58 KiB) Прегледано 953 пъти