Помощ за ДУ

[Гост]

x^2yy''-2x^2(y')^2+xyy'=0 Моля за помощ

[s.karakoleva]

Делим на [tex]y^2[/tex] двете страни на у-то. Получава се хомогенно у-е спрямо производните:
[tex]x^2\frac{y''}{y}-2x^2\left(\frac{y'}{y}\right)^2+x\frac{y'}{y}=0[/tex]
Полагаме [tex]\frac{y'}{y}=t\ , \ t=t(x)[/tex]
[tex]y'=yt\ , \ y''=y't+yt'\ , \ \frac{y''}{y}=\frac{y'}{y}\cdot t +t'=t^2+t'[/tex]

[tex]x^2(t^2+t')-2x^2t^2+xt=0[/tex]
[tex]x^2t'-x^2t^2+xt=0[/tex]
[tex]t'-t^2+\frac{1}{x}\cdot t=0[/tex] ([tex]\ x=0[/tex] е решение)
Горното у-е е на Бернули.
[tex]t'+\frac{1}{x}\cdot t=t^2\quad \|: t^2[/tex]
[tex]t^{-2}t'+\frac{1}{x}\cdot t^{-1}=1[/tex]
Полагаме [tex]t^{-1}=u\ , \ (-1) t^{-2}t'=u'[/tex]
[tex]-u'+\frac{1}{x} u=1[/tex]
Полученото у-е е линейно Нататък е ясно, предполагам.

[Гост]

Да ясно мерси много.