ОДУ - 2 обикновенни диференциални уравнения

[halkidon]

Zdraveite,az sum now v foruma i molq da me izvinite ako zadavam ne mnogo interesni vuprosi no
imam problem s edna zada4a

xy'+(x+1)y=3x^2e^-x

i

y' + (x/1-x^2)y=xSquare(y) tazi se mu4a s razdeleni promenlivi no ne6to ne go dokarvam

[Anubis]

За първото: при [tex]x \neq 0[/tex] уравнението [tex]xy'+(x+1)y=3x^2e^{-x}[/tex] може да се запише като

[tex]y' = -\frac{x+1}{x}y + 3xe^{-x}[/tex].

Това уравнение е от вида [tex]y' = a(x)y + b(x)[/tex] (линейно обикновено диференциално

уравнение от 1 ред). То се решава с формула:

[tex]y = e^{\int a(x) \operatorname{d}x} . \left [ C + \int {b(x) e^{-\int {a(x)} \operatorname{d}x}} \operatorname{d}x\right ][/tex].

В случая [tex]a(x)=-\frac{x+1}{x}, \quad b(x)=3xe^{-x}[/tex]. Сметни си двата интеграла, няма нищо сложно, .

За второто: [tex]y' + \frac{x}{1-x^2}y = x\sqrt{y}, \quad y(x) \ge 0[/tex]. Сега правиш смяната

[tex]\sqrt{y(x)}=z(x) \Rightarrow y(x)=z^2(x) \Rightarrow y'(x)=2.z(x).z'(x)[/tex]

и заместваш в диференциалното уравнение.

[tex]2.z.z' + \frac{x}{1-x^2}.z^2 = x.z \Leftrightarrow z \left ( 2z'+\frac{x}{1-x^2}.z \right ) = x.z[/tex]

Тривиалното решение е при [tex]z=0[/tex]. Ако [tex]z \neq 0[/tex], разделяме на него и достигаме до линейното

обикновено диференциално уравнение

[tex]z' = -\frac{x}{2(1-x^2)}.z+\frac{x}{2}, \quad a(x) = -\frac{x}{2(1-x^2)}, \quad b(x) = \frac{x}{2}[/tex].

[halkidon]

Blagodarq za asistenciqta
Iskam da popitam tazi formula na Lagranj za lineinoto uravnenie
mi dava krainiqt rezultat na cqloto uravnenie nali
i na homogennata i na nehomogennata 4ast !!

[Гост]

Да, тази формула дава общото решение на линейното обикновено диференциално уравнение.