Диференциално уравнение x^2yy''=(y-xy')^2

[Гост]

2 Диференциални уравнения:
задача 1: x^2yy''=(y-xy')^2
задача 2: x^4y'''+2x^3y''-1=0

[Anubis]

[tex]x^2yy'' = (y-xy')^2 \quad |: \quad (y'')^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \frac{y}{y''} = \left ( \frac{y}{y''} - x \frac{y'}{y''} \right )^2[/tex]

[tex]\frac{y'}{y} = z(x) \Rightarrow \frac{y''y-y'y'}{y^2} = z'(x), \quad \frac{y''}{y}-\left ( \frac{y'}{y} \right )^2 = z'(x), \quad \frac{y''}{y} = z'(x)+z^2(x)[/tex]

Така [tex]y' = yz, \quad y'' = y(z'+z^2)[/tex]. Само заместваш в диференциалното уравнение. След

някакви сметки намираш

[tex]\frac{x^2}{z'+z^2} = \frac{(1-xz)^2}{(z'+z^2)^2} \Rightarrow x^2 = \frac{(1-xz)^2}{z'+z^2} \Rightarrow x^2 z' + \cancel{x^2 z^2} = 1 - 2 x z + \cancel{x^2 z^2} \Leftrightarrow x^2z' = 1 - 2 x z[/tex].

Това уравнение е еквивалентно на [tex]z' = -\frac{2}{x} z + \frac{1}{x^2}[/tex] — линейно обикновено диференциално

уравнение от първи ред, което се решава с формула.

[tex]z(x) = e^{\int a(x) \operatorname{d}x} \left [ \operatorname{C} + \int b(x) e^{- \int a(x) \operatorname{d}x}\operatorname{d}x\right ][/tex],

в случая [tex]a(x) = -\frac{2}{x}, \quad b(x) = \frac{1}{x^2}[/tex]. Така [tex]z(x) = \frac{\operatorname{C}}{x^2} + \frac{1}{x}[/tex].

[tex]y' = y z \Leftrightarrow \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} = y z \Rightarrow \frac{\operatorname{d}y}{y} = z \operatorname{d}x \Leftrightarrow \frac{\operatorname{d}y}{y} = \left ( \frac{\operatorname{C}}{x^2} + \frac{1}{x} \right ) \operatorname{d}x \Rightarrow \ln y = -\frac{\operatorname{C}}{x} + \ln x + \operatorname{C}_{1} \Leftrightarrow y = e^{-\frac{\operatorname{C}}{x} + \ln x + \operatorname{C}_{1}}[/tex].

[Anubis]

[tex]x^4 y''' + 2 x^3 y'' - 1 = 0; \quad y'' = z(x) \Rightarrow y''' = z'(x)[/tex]

[tex]x^4 z' + 2x^3 z - 1 = 0 \Leftrightarrow x^4z' = - 2 x^3 z + 1 \Leftrightarrow z' = -\frac{2}{x}z + \frac{1}{x^4}[/tex]

Това отново е линейно обикновено диференциално уравнение с решение

[tex]z(x) = \frac{\operatorname{C}}{x^2} - \frac{1}{x^3}[/tex].

Така [tex]\quad y'' = \frac{\operatorname{C}}{x^2} - \frac{1}{x^3} \Rightarrow y' = -\frac{\operatorname{C}}{x} + \frac{1}{2}x^{-2} + \operatorname{C}_{1} \Rightarrow y = -\operatorname{C} \ln x - \frac{1}{2x} + \operatorname{C}_{1} x + \operatorname{C}_{2}[/tex].

[Гост]

много благодаря , а да попитам само за найменованието на този вид диференциални

[s.karakoleva]

Първото се нарича ДУ, хомогенно спрямо производните: [tex]f(x, \frac{y'}{y}, \frac{y''}{y},...)=0[/tex]
второто е от ДУ, в което липсват производните до (к-1)-та: [tex]f(x, f^{(k)}, f^{(k+1)}, ...)=0[/tex]