Диференциално уравнение y'' - y' =x.e^x

[Гост]

Здравейте ,трябва ми решението на уравнението: y'' - y' =x.e^x

стигам до r1=0 , i r2=1
натам обаче не се сещам каква беше процедурата

[Anubis]

Замисли се, това е едно супер елементарно нехомогенно диференциално уравнение.

Не е хубаво да зацикляш още при характеристичните корени.

[tex]y''-y'=xe^x[/tex]

[tex]y'(x) = z(x) \Rightarrow y''(x)=z'(x); \quad z'-z=xe^x \Rightarrow z' = z + xe^x[/tex]

Това е ЛИНЕЙНО ОБИКНОВЕНО ДИФЕРЕНЦИАЛНО УРАВНЕНИЕ ОТ ПЪРВИ РЕД, КОЕТО СЕ

РЕШАВА С ФОРМУЛА.

[tex]z' = a(x)z + b(x) \Rightarrow z = e^{\int a(x) \operatorname{d}x} \left ( \operatorname{C} + \int b(x) e^{-\int a(x) \operatorname{d}x} \operatorname{d}x \right )[/tex]

[tex]a(x) = 1, \quad b(x) = xe^x \Rightarrow z = e^{\int \operatorname{d}x} \left ( \operatorname{C}+ \int xe^x e^{-\int \operatorname{d}x} \operatorname{d}x \right ) = e^x \left ( \operatorname{C} + \int x e ^x e^{-x} \operatorname{d}x \right ) = e^x \left ( \operatorname{C} + \frac{x^2}{2} \right )[/tex]

[tex]y' = z = e^x \left ( \operatorname{C} + \frac{x^2}{2} \right ) = \operatorname{C}e^x+\frac{1}{2}x^2e^x \Rightarrow \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} = \operatorname{C}e^x + \frac{1}{2} x^2e^x \Rightarrow \operatorname{d}y = \left ( \operatorname{C}e^x+\frac{1}{2}x^2e^x \right ) \operatorname{d}x[/tex]

Така [tex]y(x) = \operatorname{C}e^{x}+\frac{1}{2}x^2e^x-e^x \left ( x-1 \right ) + \operatorname{C}_{1}[/tex].

[pipi langstrump]

Понеже 1 е корен на характеристичния полином, частно решение ще се търси във вида [tex]\eta = x(Ax + B)e^x[/tex]