Проблем с хомогенни диференциални уравнения

[Гост]

Мъча се да реша няколко задачи от ДУ, но не са ми много ясни и не мога да стигна до верните отговори

Задача 1. [tex]y^{`}-2xy=2x[/tex], [tex]y(0)=-1[/tex]

Получавам някакви отговори, които нямат нищо общо с отговора в учебника и не ми е ясно как трябва да използвам даденото ми в условието [tex]y(0)=-1[/tex] за да стигна до втората част от отговора в учебника.

Задача 2. [tex]y^{`}-(2/x)y=x^{2}e^{x}[/tex], [tex]y(1)=e[/tex]

Тук получавам [tex]y=x^{2}(C+e^{x})[/tex], което е вярно с първата част от отговора, но за втората част от отговора пак идва проблема с евентуалното използване на [tex]y(1)=e[/tex]

Задача 3. [tex]xy^{`}-y=x^{3}cosx[/tex]

Тук получавам [tex]y=x(C+xcosx+sinx)[/tex], а в учебника е даден отговор [tex]y=x(C+xsinx+cosx)[/tex] и се чудя дали е възможно да има грешка в отговора в учебника или грешката е при мен. Ако грешката е при мен ще съм благодарен някой, който е получил отговора от учебника, да каже как се получава.

[Anubis]

[tex]y'-2xy = 2x, \quad y(0) = -1[/tex]

[tex]y' = 2xy+2x \quad \quad - \quad \quad[/tex] това е линейно обикновено диференциално уравнение, което се

решава с една формула

[tex]y' = a(x)y + b(x) \Rightarrow y(x) = e^{\int a(x) \operatorname{d}x} \left ( \operatorname{C} + \int b(x) e^{-\int a(x) \operatorname{d}x} \operatorname{d}x\right )[/tex]

[tex]y' = 2xy + 2x \Rightarrow e^{\int 2x \operatorname{d}x} = e^{x^2} \Rightarrow e^{x^2} \left ( \operatorname{C} + \int 2xe^{-x^2} \operatorname{d}x \right ) = e^{x^2} \left ( \operatorname{C} - \int e^{-x^2} \operatorname{d}(-x^2) \right ) = e^{x^2} \left ( \operatorname{C} - e^{-x^2} \right)[/tex]

Значи [tex]y(x) = \operatorname{C}e^{x^2}-1; \quad y(0) = -1 \Rightarrow \operatorname{C}e^{0}-1 = -1 \Rightarrow \operatorname{C} = 0[/tex]

[Anubis]

[tex]y' - \frac{2}{x}y = x^2e^x, \quad y(1) = e[/tex]

Това също е линейно уравнение, защото [tex]y' = \frac{2}{x}y + x^2e^x, \quad a(x) = \frac{2}{x}, \quad b(x) = x^2e^x[/tex].

По формулата за линейно обикновено диференциално уравнение получаваме

[tex]y(x) = \operatorname{C}x^2+x^2e^x[/tex].

[tex]y(1) = \operatorname{C}+e=e \Rightarrow \operatorname{C} = 0 \Rightarrow y(x) = x^2e^x[/tex]

[Гост]

Благодаря за първите 2 задачи
Изясниха ми се доста повече както си ги написал, отколкото както ги бяха дали на лекциите и упражненията.
За третата задача дали можеш да кажеш кой отговор е верен:

- моят отговор [tex]y=x(C+xcosx+sinx)[/tex]
- отговора от учебника [tex]y=x(C+xsinx+cosx)[/tex]

[Anubis]

Тяхното е вярно. Можеш да провериш с непосредствено диференциране и заместване в

уравнението.

[Гост]

Тяхното е вярно. Можеш да провериш с непосредствено диференциране и заместване в
уравнението.

Как ще стане това, защото аз си нямам и на идея. Известен ми е само този начин, по който ги пресмятам и получавам този отговор с разменени cosx и sinx ?