Диференциални уравнения- задача на Коши

[diliana_velkova]

Моля помогнете ми за следното уравнение, немога да се справя сама:
у'= х + у^2 (производната на у ревна на х + у на квадрат),
при у(0) = 1

[Гост]

Диляна, това е уравнение на Рикати и трябва да знаеш едно частно решение.

[Гост]

Е, аз ще подскажа две f(x) = x+1 и f(x) = е^x, ако не съм объркал нещо...

[Гост]

Ако [tex]e^x[/tex] е частно решение, то трябва да удовлетворява уравнението.

[tex]y(x)=e^x, \quad y'(x)=e^x; \quad y' = x+y^2 \Rightarrow e^x = x + e^{2x}[/tex],

т. е. [tex]e^x[/tex] не е частно решение.

[Гост]

ако x=0 то e^x=e^2x + x

[Гост]

Много ви благодаря за помощта!

[Гост]

Здравейте!
Нещо не се справям много добре с тази задача и пак ви моля за помощ. Ето до къде я докарах и не знам дали въобще се решава така:

Значи имам у- е на Рикати у'= х +у^2
при у(0)=1.
Вземам частното решение у1= х +1
и го замествам в уравнението. Става:
х +1 = х + у^2
у^2 = 1 , като коренувам получавам
у = 1 ( +,- единица)
Решавам го така, защото в лекциите ми пише, че у- то може да се реши в квадратури, но ако не се получава така трябва да положа у = у1 +z от където вече се вижда , че това е у- е на Бернули.

[Гост]

njama znachenie, che e na Riccati...kvo mozhe da se napravi tuka?
da se polozhi x+y=u[tex]\Rightarrow du=dx+dy \Rightarrow du/dx=1+dy/dx \Rightarrow du/dx-1= u^{2 } \Rightarrow du/(1+ u^{2 })=dx \Rightarrow arctan(x+y)=x+c[/tex]