Деф. у-e

[Nietsche]

x(xy-3)y` + xy^2 - y = 0

Q = x(xy-3) ; P = xy^2-y

dQ/dX = 2xy-3 ; dP/dY = 2xy-1

help

[pipi langstrump]

Има и по-лесен начин - положи xy = z

[Nietsche]

Направих го. Ще може ли малко помощ и за
x^2 + y^2 + z^2 = 4
x^2 + y^2 = 3z

и

y``- 2y` + y = e^x/[tex]\sqrt{4-{x^2}}[/tex]

[Flame]

Направих го. Ще може ли малко помощ и за
y``- 2y` + y = e^x/[tex]\sqrt{4-{x^2}}[/tex]

Типичен пример за приложение на системата на Лагранж
Решаваме хомогенната част
[tex]r^2-2r+r=0 \Leftrightarrow (r-1)(r-1)=0 \Rightarrow r_1=1, r_2=1 \Rightarrow[/tex]
[tex]y_{hom}=C_1 e^x+C_2 x e^x[/tex]

Нехомогенната част търсим във вид:
[tex]y_1=C_1 e^x+C_2 x e^x[/tex] - като за неизвестните константи съставяме системата на Лагранж.

[tex]\left|\begin{array}{c}C_1' e^x+C_2' x e^x =0 \\ C_1' e^x+C_2' e^x+x C_2' e^x=\frac{e^x}{\sqrt{ 4-x^2 }}\end{array} \Leftrightarrow \left|\begin{array}{c}C_1'+C_2' x =0 \\ C_1'+C_2'+x C_2'=\frac{1}{\sqrt{4-x^2} }\end{array}[/tex]
[tex]-x C_2'+C_2'+x C_2'=\frac{1}{4-x^2 } \Rightarrow C_2'=\frac{1}{\sqrt{4-x^2} } \Rightarrow[/tex]
[tex]\int C_2'=\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2} }dx\Rightarrow C_2=\arcsin(\frac{x}{2})[/tex]

Аналогично за [tex]C_1[/tex] - намираме :
[tex]C_1 =\sqrt{4-x^2}[/tex]

Или за решение на нехомогенната част се получава:

[tex]y_1=\sqrt{4-x^2} e^x+\arcsin(\frac{x}{2}) x e^x[/tex]

Oкончателното решение е:
[tex]y=y_{hom}+y_1[/tex]

[tex]y=C_1 e^x+C_2 x e^x+\sqrt{4-x^2} e^x+\arcsin(\frac{x}{2}) x e^x[/tex]