Решение на линейно диференциално уравнение

[Гост]

Задачата гласи: Да се намери общото решение на ДУ

Задачата е следната:

x(x-1)y'=x^{2}(2x-1)

Връткал съм я бая време и просто не мога да я докарам до y'=x_{1 }(x) y + x_{2 }
Не знам дали просто съм спрял или има нещо по особено, вие ми кажете.

[Гост]

Хайде да опитаме да напишем условието така, че да се разбира.
Ако е така
[tex]x(x-1)y'=x^{2}(2x-1)[/tex],
защо единият x не е съкратен?

И защо да представлява проблем, след като е с разделящи се променливи?

[Гост]

Хайде да опитаме да напишем условието така, че да се разбира.
Ако е така
[tex]x(x-1)y'=x^{2}(2x-1)[/tex],
защо единият x не е съкратен?

И защо да представлява проблем, след като е с разделящи се променливи?

Извинявам се за грешката.
Уравнението гласи
[tex]x(x-1)y'+y=x^{2}(2x-1)[/tex] и не е с разделящи се променливи.

[Добромир Глухаров]

$x(x-1)y'+y=x^2(2x-1)$

$y'+\frac{1}{x(x-1)}y=\frac{x(2x-1)}{x-1}$

Най-напред решаваме съответното хомогенно уравнение: $y'+\frac{1}{x(x-1)}y=0$

$\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x(x-1)}$

$\int\frac{dy}{y}=-\int\frac{dx}{x(x-1)}=-\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)dx=-ln|x-1|+ln|x|+C_1$

$lny=C_1+ln\left|\frac{x}{x-1}\right|$

$y=e^{C_1}\frac{x}{x-1}=C\frac{x}{x-1}$

Варираме константата $C$: $y=\frac{C(x).x}{x-1}$

Намираме $y'=\frac{(C'(x).x+C(x))(x-1)-C(x).x.(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{x^2.C'(x)-C'(x).x-C(x)}{(x-1)^2}=C'(x)\frac{x}{x-1}-\frac{C(x)}{(x-1)^2}$

Заместваме $y$ и $y'$ в диференциалното уравнение: $C'(x)\frac{x}{x-1}-\frac{C(x)}{(x-1)^2}+\frac{C(x).x}{x(x-1)^2}=\frac{x(2x-1)}{x-1}$ $|.(x-1)$

$xC'(x)-\frac{C(x)}{x-1}+\frac{xC(x)}{x(x-1)}=x(2x-1)$

$C'(x)=2x-1\Rightarrow C(x)=x^2-x+C$

$y=\frac{x}{x-1}(x^2-x+C)=\frac{x^2(x-1)}{x-1}+\frac{Cx}{x-1}=x^2+\frac{Cx}{x-1}$