Диференциално уравнение на клеро

[Гост]

Здравейте,
Ще съм изключително благодарна ако някой ми обясни как да намеря обособените и обикновените точки за y=x*y'+3*(y')^{2}.
Благодаря предварително.

[Гост]

diferenciraj go

[Гост]

[tex]y'=y'+xy''+6y'.y'' \Rightarrow (x+6y').y''=0 \Rightarrow y''=0,y'=c,y=cx+c _{1 }[/tex] znachi familja ot pravi...a vtoroto?

[Davids]

Здравейте,
Ще съм изключително благодарна ако някой ми обясни как да намеря обособените и обикновените точки за y=x*y'+3*(y')^{2}.
Благодаря предварително.

Решаваме уравнението:
$y = xy' + 3(y')^2$

Идеята при уравненията на Клеро е, както е посочил Гост по-горе, да положим примерно $z(x) := y'(x)$, след което получаваме:
$y = xz + 3z^2$

и да диференцираме по $x$:
$y' = z + xz' + 6zz'$

Но $y' = z$, така че получаваме:
$z = z + xz' + 6zz'$
$\Rightarrow xz' + 6zz' = 0$
$z'(x + 6z) = 0$

I. Първото решение е:
$z' = 0 \Rightarrow z = y' = c$

Тук обаче не е редно да интегрираме и да изкараме две независими константи (както в поста по-горе), понеже между тях съществува зависимост (можем да се водим от факта, че в уравнението на Клеро участва само първа производна, та е логично общото ни решение да зависи само от една константа). Това, което можем да направим да си улесним живота - вместо да интегрираме пак и да изразяваме зависимостта от константата - е директно да използваме зависимостта, дадена ни от оригиналното уравнение (преди диференцирането), а именно:
$y = xz + 3z^2 = cx + 3c^2$

Нека кръстим това решение $y_1$, т.е. $y_1 = cx + 3c^2$

II. Второто решение е:
$x + 6z = 0$
$z = -\frac{x}{6}$

Отново заместваме в първоначалния израз за $y$:
$y = xz + 3z^2 = -\frac{x^2}{6} + 3\frac{x^2}{36} = - \frac{x^2}{12}$

Нека кръстим това решение $y_2(x) := -\frac{x^2}{12}$

Наблюдения:
Забелязваме, че $y_1$ зависи от константа, т.е. $y_1$ са фамилия от функции, а $y_2$ не - $y_2$ е фиксирана крива. Това е характерно за уравненията на Клеро.
Сега по въпроса:

Нека уравнението ни е въведено във вида: $F(x, y, y') = 0$

Какво е особена точка?
Формално:
Особена точка е такава точка $(x_0, y_0)$, за която съществува решение $z = b$ на системата:
[tex]\begin{array}{|l} F(x_0, y_0, b) = 0 \\ F'_z(x_0, y_0, b) = 0 \end{array}[/tex]

Неформално:
Това са всички точки, през които минават няколко различни допиращи се решения - различни в околност на точката, но с равен ъглов коефициент в нея.

Решение, състоящо се само от особени точки, се нарича осоебено решение.
В случая с уравненията на клеро, това се оказва именно фиксинара крива (параболата), във всяка точка от която ще се допира една от фамилията прави.

Какво е обикновена точка?
Формално:
Обикновена точка е такава точка $(x_0, y_0)$, за която:
1. Уравнението $F(x_0, y_0, z) = 0$ има краен брой решения $z_1 < z_2 < \dots < z_m$
2. За всяко $z_i$ от горните решения $F'_z(x_0, y_0, z_i) \ne 0$

Неформално:
Това са всички точки, през които минават едно или няколко решения, но с различни (или несъществуващи) ъглови коефициенти в тази точка.

Тоест тук това ще са всички точки от всички прави, които не са върху особеното решение (т.е. не са допирателни).

Да говорим малко по-стриктно в контекста на нашата задача:
Имаме $F(x, y, z) = y - xz - 3z^2 = 0$
$\Rightarrow F'_z(x, y, z) = -x - 6z$

Общите точки между $y_1$ и $y_2$ са:
$y_1 = xc + 3c^2 = -\frac{x^2}{12} = y_2$
$x^2 + 12cx + 36c^2 = 0$
$(x + 6c)^2 = 0$
$x = -6c$
$\Rightarrow y = -3c^2$

Тогава $F(x, y, z) = F(-6c, -3c^2, z) = -3c^2 + 6cz - 3z^2 = -3(z - c)^2 = 0$
и $F'_z(x, y, z) = F'_z(-6c, -3c^2, z) = 6c - 6z = -6(z - c) = 0$

Убедихме се, че $z = c$ наистина е решение на системата. Значи точките $(-6c, -3c^2)$ са особени.

Уморих се да пиша, на теб оставям проверката за обикновените точки. Не знам по принцип има ли и какво да се прави още там, освен може би по дефиницията отново да се докаже, че през всяка точка над параболата $y_2$ минават най-много 2 допирателни към $y_1$, т.е. краен брой решения, при които $F'_z$ не се занулява.

Има ги нещата генерализирани из нета, хвърли им едно око: цък
Ето и малко помощна визуализация: цък в Desmos

Не ми се получи много обясняванката, ама късно стана.