Диференциални уравнения

[Гост]

При а=8

Capture.JPG (21.89 KiB) Прегледано 2083 пъти

[Гост]

Някак много категорично. Хубаво е (от обща култура и възпитание) да се спомене какви проблеми е срещнал питащият, преди да се обърне към уважаваните решаващи. Да не се превръща форумът в колекция от снимки на задачи и последни цифри на факултетски номера.

[aifC]

1.4) [tex]y'' + 4y = asin(2x)[/tex]

[tex]y'' + 4y = 0 \Rightarrow e^{\gamma.x} + 4e^{\gamma.x} = 0[/tex] Опростяваме и получаваме :
[tex]e^{\gamma.x}(\gamma^{2} + 4) = 0 \Rightarrow \gamma = 2i, -2i;[/tex]
[tex]y = e^{0}(c_{1 }cos(2x) + c_{2}sin(2x)) \Rightarrow (c_{1 }cos(2x) + c_{2}sin(2x);[/tex]
[tex]y = 0 . xsin(2x) + (-\frac{a}{4})xcos(2x) \Rightarrow y = - \frac{1}{4}xacos(2x);[/tex]

Решениeто за уравнението е :
[tex]y = (c_{1 }cos(2x) + c_{2}sin(2x) - \frac{1}{4}xacos(2x);[/tex]

[aifC]

1.3) [tex]y'' + y' - 6y = a.e^{2x}[/tex]

[tex]y = e^{\gamma.x} \Rightarrow e^{\gamma.x}(\gamma^{2} + \gamma - 6) = 0[/tex]
[tex]\gamma = 2, -3; \Rightarrow y = c_{1 }e^{2x} + c_{2}e^{-3x} ;[/tex]
[tex]y = a_{0 }xe^{2x} \Rightarrow 5a_{0 }xe^{2x} = ae^{2x} : a_{0} = \frac{a}{5} \Rightarrow y = \frac{1}{5}e^{2x}xa[/tex]

Решението е :
[tex]y = c_{1 }e^{2x} + c_{2}e^{-3x} + \frac{1}{5}e^{2x}xa ;[/tex]

[aifC]

1.1) [tex]y' +\frac{y}{x} = (ln^{2}x + a)y^{2};[/tex]

Тъй като това е диференциално уравнение на Бернули от първи ред, трябва да го преведем в неговата форма.

[tex]y' + p(x)y = q(x)y^{n} \Rightarrow p(x) = \frac{1}{x}, q(x) = a + ln^2(x), n = 2;[/tex]

Правим субституция:

[tex]v = y^{1-n} \Rightarrow \frac{1}{1-n}v' + p(x)v = q(x);[/tex]

[tex]\frac{v(x)}{x} - \frac{d}{dx}(v(x)) = a + ln^{2}(x) \Rightarrow v(x) = -\frac{1}{3}ln^{3}(x)x - aln|x|x + c_{1 }x;[/tex]

Връщаме субституцията:

[tex]v(x) = y^{-1} \Rightarrow y^{-1} = -\frac{1}{3}ln^{3}(x)x - aln|x|x + c_{1 }x;[/tex]

[tex]y = \frac{3}{x(c_{1} - 3aln|x| - ln^{3}(x))};[/tex]

[Гост]

1.2. [tex]axydx-(x^{2}+y^{2})dy=0[/tex], [tex]P=axy[/tex], [tex]Q=-x^{2}-y^{2}[/tex]

[tex]P_{y }=ax[/tex][tex]\ne[/tex][tex]Q_{x }=-2x[/tex]

[tex]-\frac{1}{P}(P_{y }-Q_{x })=-\frac{a+2}{a}.\frac{1}{y}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\mu[/tex][tex]=\mu(y)[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=-\frac{a+2}{a}\frac{1}{y}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\int\frac{1}{\mu}d\mu=-\frac{a+2}{a}\int\frac{1}{y}dy[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]ln|\mu|=-\frac{a+2}{a}ln|y|[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\mu=y^{-\frac{a+2}{a}}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex][tex]axy.y^{-\frac{a+2}{a}}dx-(x^{2}+y^{2})y^{-\frac{a+2}{a}}dy=0[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]axy^{-\frac{2}{a}}dx-(x^{2}y^{-\frac{a+2}{a}}+y^{\frac{a-2}{a}})dy=0[/tex]
[tex]P_{y }=-2xy^{-\frac{a+2}{a}}=Q_{x }[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} u_{x } = axy^{-\frac{2}{a}} \\ u_{y } = -x^{2}y^{-\frac{a+2}{a}}-y^{\frac{a-2}{a}} \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]u(x, y)=\int axy^{-\frac{2}{a}}dx=a\frac{x^{2}}{2}y^{-\frac{2}{a}}+\varphi(y)[/tex]

[tex]u_{y }=-x^{2}y^{-\frac{a+2}{a}}+\varphi'(y)=-x^{2}y^{-\frac{a+2}{a}}-y^{\frac{a-2}{a}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\varphi'(y)=-y^{\frac{a-2}{a}}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\varphi(y)=-\int y^{\frac{a-2}{a}}dy=-\frac{a}{2(a-1)}y^{\frac{2(a-1)}{a}}+C[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex][tex]y=0[/tex], [tex]a\frac{x^{2}}{2}y^{-\frac{2}{a}}-\frac{a}{2(a-1)}y^{\frac{2(a-1)}{a}}=C[/tex], където [tex]a[/tex] е номерът на Адриана Лима. Който го знае, да го каже, за да заместя.