Преобразувания на Лаплас

[Гост]

Здравейте! Бихте ли ми помогнали с тези задачи. И на двете условието е „С преобразувания на Лаплас да се решат диференциалните уравнения при съответните начални условия“:

Зад. 1



Зад. 2




Започнах така, не знам дали е правилно:

[Гост]

На втората съм пропусна началните условия:

[img][img]https://i.imgur.com/Fwd8hte.jpg[/img][/img]

[Гост]

[Добромир Глухаров]

Резултати от Google с Таблици на оператора на Лаплас (на руски, но самите формули се разбират).

По-точно тези два резултата: ТУК и ТУК.

Зад. 1 $\ddot{x}(t)+4x(t)=sint;\ x(0)=\dot{x}(0)=0$

$L(\ddot{x}(t))+4L(x(t))=L(sint)$

$p^2X(p)-p\dot{x}(0)+4X(p)=\frac{1}{p^2+1}$

$(p^2+4)X(p)=\frac{1}{p^2+1}$

$X(p)=\frac{1}{(p^2+1)(p^2+4)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{p^2+1}-\frac{1}{p^2+4}\right)$

$x(t)=\frac{1}{3}L^{-1}\left(\frac{1}{p^2+1}\right)-\frac{1}{6}L^{-1}\left(\frac{2}{p^2+2^2}\right)$

$x(t)=\frac{1}{3}sint-\frac{1}{6}sin2t$

[Добромир Глухаров]

Зад. 2 $\ddot{x}(t)+4\dot{x}(t)+4x(t)=8cos2t;\ x(0)=\dot{x}(0)=0$

$L(\ddot{x}(t))+4L(\dot{x}(t))+4L(x(t))=8L(cos2t)$

$p^2X(p)-p\dot{x}(0)+4pX(p)-4x(0)+4X(p)=\frac{8p}{p^2+2^2}$

$(p^2+4p+4)X(p)=\frac{8p}{p^2+4}$

$X(p)=\frac{8p}{(p^2+4)(p+2)^2}=2\cdot\frac{(p+2)^2-(p^2+4)}{(p^2+4)(p+2)^2}=2\left(\frac{1}{p^2+4}-\frac{1}{(p+2)^2}\right)$

$x(t)=L^{-1}\left(\frac{2}{p^2+2^2}\right)-2L^{-1}\left(\frac{1}{(p+2)^2}\right)=sin2t-2te^{-2t}$

[Гост]

Здравейте. Разлеждам тези задачи и се чудя защо в първата изваждаме точно 1/3 пред скоби? От къде идва? А във втория случай как получаваме тази част: