Диференциални уравнения

[Добромир Глухаров]

$xy'=y+xe^{\frac{y}{x}}$

$y'=\frac{y}{x}+e^{\frac{y}{x}}\ (1)$

$\frac{y}{x}=z$

$y=xz$

$y'=z+xz'$

$\Rightarrow(1)\Leftrightarrow z+xz'=z+e^z$

$xz'=e^z$

$\frac{z'}{e^z}=\frac{1}{x}$

$\int\frac{dz}{e^z}=\int\frac{dx}{x}$

$-e^{-z}=lnx-C$

$-z=ln(C-lnx)$

$y=-xln(C-lnx)$

[Добромир Глухаров]

$y'+\frac{2}{3}\cdot\frac{y}{x+1}=\frac{x^3}{3y^2}$

$2y^3-x^4-x^3+3(x+1)y^2y'=0$

Полученото уравнение не е точно, но е приводимо чрез умножаване по $(x+1)$

$2xy^3+2y^3-x^5-2x^4-x^3+(3x^2y^2+6xy^2+3y^2)y'=0$

$P(x,y)+Q(x,y)y'=0$

$\begin{array}{l}P_y=6xy^2+6y^2\\Q_x=6xy^2+6y^2\end{array}\Rightarrow P_y=Q_x$ - уравнението е точно.

$U(x,y)=\int(2xy^3+2y^3-x^5-2x^4-x^3)dx+\varphi(y)=x^2y^3+2xy^3-\frac{x^6}{6}-\frac{2x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\varphi(y)$

$U_y(x,y)=Q(x,y)\Rightarrow3x^2y^2+6xy^2+\varphi'(y)=3x^2y^2+6xy^2+3y^2\Rightarrow\varphi'(y)=3y^2\Rightarrow\varphi(y)=y^3+C$

$U(x,y)=y^3+x^2y^3+2xy^3-\frac{x^6}{6}-\frac{2x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+C$

$U(x,y)=0\Rightarrow\ \ \boxed{60y^3(x+1)^2-10x^6-24x^5-15x^4=C}$

[pipi langstrump]

$y'+\frac{2}{3}\cdot\frac{y}{x+1}=\frac{x^3}{3y^2}$

Като умножим по $3y^2$ става

$3y^2y'+y^3\frac{2}{x+1} = x^3$

$(y^3)'+y^3\frac{2}{x+1} = x^3$

Полагаме $y^3 = f$

$f'+f\frac{2}{x+1} = x^3$ - линейно