ДУ y"=(y')^2 + 9

[Гост]

Здравейте, бихте ли ми помогнали с това ДУ и една задача за намиране на локален екстремум, с която срещам трудност, когато стигна до търсенето на корени чрез система лу.

[tex]y''=(y')^2+9[/tex]


[tex]z=x^3 + y^3 - 21xy[/tex]

[Гост]

добавям и това
[tex]y''+3y'-4y=e^(-4x)[/tex]

[Sup3rlum]

Здравейте, бихте ли ми помогнали с това ДУ и една задача за намиране на локален екстремум, с която срещам трудност, когато стигна до търсенето на корени чрез система лу.

[tex]y''=(y')^2+9[/tex]


[tex]z=x^3 + y^3 - 21xy[/tex]

За първата:

Заместваш $y'=p$
$p'=p^2+9$
$\frac{dp}{dt}=p^2+9$

Това е първа степен уравнение което е разделимо:

$\frac{dp}{p^2+9}=dt$

$\int \frac{dp}{p^2+9}=\int dt$

$\frac{1}{3}arctan\bigg(\frac{p}{3}\bigg)=t+C$

$p=3tan(3t+C)$

Заместваш обратно $p=y'$

$y'=3tan(3t+C)$
$y=\int 3tan(3t+C)dt$
$y=sec^2(3t+C)+K$



За втората намираш $\nabla z = (z'_x, z'_y)=(3x^2-21y, 3y^2-21x)=(0,0)$

$\begin{array}{|l} 3x^2-21y=0 \\ 3y^2-21x=0 \end{array}$

$\begin{array}{|l} x^2=7y \\ y^2=7x \end{array}$

Тук заместваш с $y=\frac{x^2}{7}$
$\Rightarrow \bigg(\frac{x^2}{7}\bigg)^2=7x$

$\Rightarrow x^4=343x$
$\Rightarrow x^4-343x=0$

$\Rightarrow x_1=0, x_2=7$

$\Rightarrow y_1=0, y_2=7$

Това са ти координатите на двете точки които са екстремуми.
Зa да разбереш коя е минимум, коя максимум или коя е седло ти трябва $D^2z=\begin{bmatrix} z_{xx} & z_{xy} \\ z_{yx} & z_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6x & -21 \\ -21 & 6y \end{bmatrix}$

При $(0,0) \Rightarrow D^2z=\begin{bmatrix} 0 & -21 \\ -21 & 0 \end{bmatrix}$

За айгенстойностите имаш:

$det(\lambda I-D^2z)=0$

$det\begin{vmatrix} \lambda & 21 \\ 21 & \lambda \end{vmatrix}=0$
$\lambda^2-441=0$
$\Rightarrow \lambda = \pm 21$

Корените тук са един положителен и един отрицателен следователно екстремума в тази точка е седло.

За $(7,7) \Rightarrow D^2z=\begin{bmatrix} 42 & -21 \\ -21 & 42 \end{bmatrix}$

$det(\lambda I-D^2z)=0$

$det\begin{vmatrix} \lambda-42 & 21 \\ 21 & \lambda-42 \end{vmatrix}=0$

$(\lambda-42)^2-441=0$
$\lambda-42=\pm 21$

$\Rightarrow \lambda_1=21, \lambda_2=63$

Тука имаш два положителни корена следователно екстремума тук е минимум.

[Sup3rlum]

добавям и това
[tex]y''+3y'-4y=e^(-4x)[/tex]

Тоя гугъл защо никой не го използва

Second Order Differential Equation