Система диференциално уравнение

[Гост]

Здравейте,

Готвя се за изпит по ВМ 3 част и една от задачите, които ще се падне е система диференциално уравнение и като пример е дадена следната:

[tex]\begin{cases} x' = 5x -3y \\ y' = 2x - 2y \end{cases}[/tex]

Дали някой може да сподели как се решават този тип системи и как им е ТОЧНОТО наименование на английски, понеже в Ютюб има доста интересни канали, чрез които се подговтих за интегралите, за хомогенни диференциални уравнения и много други, но тези не ги откривам по абсолютно никакъв начин. Търсих "differential equation systems" и всякакви подобни, но без успех.

[Sup3rlum]

Съжелявам, че малко късно отговарям.

На английски система от диференциални уравнения си е просто собствения буквален превод: system of [D]ifferential [E]quations
Също съм виждал да се наричат Matrix DE, coupled DE, dependant DE, но доста по-рядко.

За ресурс не мога да линкна нищо, защото не мога да се сетя за нищо добро в момента.

Самата система може да се превърне в следната форма:

$v'=Av+f(t)$

Където,

$v=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ c_3 & c_4 \end{pmatrix}$

$c_i$ са константните коефиценти пред $x$ и $y$

и $f(t)$ е функция, която в нашия случай $f(t)=0$. В този случай системата се нарича хомогенна и има форма $v'=Av$

Най-обичайният метод за решаване е с Лаплас трансформации. За решаването на тази система (и други подобни) не ти е нужно познание на цялата теория, само таблицата ще ти стигне.
В условието на самата задача също ще са ти зададени и начални условия, за да може да се реши напълно, т.е няма да ти стигне само самата система за решение.

За разлика от обикновените диференциални уравнения (Ordinary DE, ODE) тук имаме две променливи и трябва да разглеждаме и двете като функции, за да може крайният отговор да има смисъл, и за да можем да представим $x$ и $y$ независимо едно от друго. За тази цел най-често се представят $x=x(t), y=y(t)$ и краният ни отговор ще бъде функции спрямо $t$.

Защо е необходима трансформация на Лаплас? На кратко (и в рамките на тази задача), трансформациите превръщат една функция $f(t)$ във функция $\mathcal{L} \{f(t)\}=F(s)$. Едно от интересните свойства (и това което ни интересува) е, че $\mathcal{L} \{ f'(t) \}=sF(s)-f(0)$ с това можем да превърнем нашата система в обикновена линейна система и да решаваме с матрици. Също сега се вижда и защо ни трябват началните стойности $x(0)=?, y(0)=?$.
Лаплас трансформациите също така имат линейно свойство: $\mathcal{L} \{f+g\}=F+G$, следователно и $\mathcal{L} \{af\}=aF$.

Ето една таблица с всички необходими трансформации:

lt.jpg (694.08 KiB) Прегледано 2314 пъти

И дефиницията $\mathcal{L} \{f(t)\}=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt$ също така е написана отгоре на листа.

Сега ако се върнем обратно към системата:

$\begin{array}{|l} x'=5x-3y \\ y'=2x-2y \end{array}$

И приложим трансформациите на Лаплас:

$\begin{array}{|l} sX-x(0)=5X-3Y \\ sY-y(0)=2X-2Y \end{array}$

За тази задача е сравнително лесно, макар че можеш да срещнеш и системи които имат свободни членове $t$ или константи $a,b,c$. В такива случаи просто се продължава по същия начин.
За да улесним решаването, ще предположим, че $x(0)=2$ и $y(0)=1$

$\begin{array}{|l} sX-2=5X-3Y \\ sY-1=2X-2Y \end{array}$

$\begin{array}{|l} (s-5)X+3Y=2 \\ (s+2)Y-2X=1 \end{array}$

$\begin{pmatrix} s-5 & 3 \\ -2 & s+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$

Този метод работи и в матрична форма:

$v'=Av$
$\mathcal{L} \{v'\}=\mathcal{L} \{Av\}$

$sV-v(0)=AV$
$sV-AV=v(0)$
$(sI-A)V=v(0)$

$\begin{pmatrix} s-5 & 3 \\ -2 & s+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$

За да намерим $X$ и $Y$ ни трябва $\begin{pmatrix} s-5 & 3 \\ -2 & s+2\end{pmatrix}^{-1}$

Формулата е следната: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$

И като приложим:

$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\frac{1}{(s-1)(s+4)}\begin{pmatrix} s+2 & -3 \\ 2 & s-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}=\frac{1}{(s-1)(s+4)}\begin{pmatrix} 2s+1 \\ s-1\end{pmatrix}$

От тук $X=\frac{2s+1}{(s-1)(s+4)}$
$Y=\frac{1}{s+4}$

За $y$ лесно се решава, $y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y\}=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+4}\}=e^{-4t}$

За $x$ по същия начин, само че трябва да разделим дробта:

$\frac{2s+1}{(s-1)(s+4)}=\frac{3}{5}.\frac{1}{s-1}+\frac{7}{5}.\frac{1}{s+4}$


$\boxed{x=\frac{3}{5}e^t+\frac{7}{5}e^{-4t}}$

$\boxed{y=e^{-4t}}$

[Гост]

Много, МНОГО благодаря! Не е никак късно, аз все още имам време. Ами на мен в заданието не са ми зададени стойности за x(0) и y(0) а е зададена по следния начин:

"Намерете общо решение (x(t), (y)(t)) на системата диференциални уравнения"

И не разбирам точно как може да се реши, ако не са зададени стойностите?

И в случая, коя трансформация на Лаплас сме използвали?

[Гост]

Ще се радвам, ако и все пак успеете да намерите някакви видеа или решени задачи, където са подробно обяснени няколк примера. Ако пък не - бих Ви помолил Вие да решите няколко примера и да ги обясните, ако не Ви представлява проблем. Тъй като макар и много подробно да сте обяснили всичко, малкосе затруднявам и обяснени няколко подробно примера биха ми били от огромна полза.

Готов съм дори да си заплатя, ако е необходимо. Съвсем сериозен съм.

Благодаря Ви още веднъж за всичко!

[Sup3rlum]

Много, МНОГО благодаря! Не е никак късно, аз все още имам време. Ами на мен в заданието не са ми зададени стойности за x(0) и y(0) а е зададена по следния начин:

"Намерете общо решение (x(t), (y)(t)) на системата диференциални уравнения"

И не разбирам точно как може да се реши, ако не са зададени стойностите?

И в случая, коя трансформация на Лаплас сме използвали?

Добре, тук може би е необходимо да се порпавя.
При решаването на диференциални уравнения (от къквто и да е вид), (почти) винаги има два вида решение - общо и точно (на англ. general solution и particular solution). Какво си има предвид под тези два различни вида?
Най-добре е по най-простия начин да разгледаме самото естество на диференциалните уравнения. В общи думи, едно такова уравнение ни кара да направим следното:

Ако знаем информация за $f'(x)$ да намерим, чрез тази информация, функцията $f(x)$. Това изглежда доста като интегриране, и на пракита е така! Тук обаче има една подробност.
Когато започнем наобратно (имаме $f(x)$ и търсим $f'(x)$, което на практика е намиране на производната) се случва да изгубим малко информация за нашата функция. Именно, че ако имаме някаква числена стойност, производната на тази стойност е 0.
Ето пример:

$f(x)=x^2+4$
$f'(x)=2x$

Стойността 4, изчезна, и нямаме никаква информация каква е била.

Функцията:
$g(x)=x^2-200$
$g'(x)=2x$

Дори:
$h(x)=x^2+(e^4-cos(20))^{67}$
$h'(x)=2x$

Тази числена стойност естествено е много важна за, функциите $f,g,h$ но няма никакво влияние върху $f',g',h'$.

Сега ако се пробваме от производните да намерим оригиналните функции... няма да успеем. $\int 2xdx=x^2+c$, това число $c$ може да е всичко, и ние няма как да знаем коя функция принадлежи към дадената производна.

Знаем, каква е общата част която винаги е вярна за функциите $f,g,h$ но не знаем коя е точната част, защото сме я изгубили в процеса.
От там идват и наименованията общо решение, и точно решение.

Но къде идва от полза това "начално условие"? Ами представи си сега, че ти кажа следното:

От $f'(x)=2x$ намери $f(x)$, обаче знай че $f(0)=4$
Сега вече можеш да решиш $\int 2xdx=x^2+c$, $f(0)=0^2+c=4 \Rightarrow c=4 \Rightarrow f(x)=x^2+4$

Общо решение (не знаем началните стойности):
$f(x)=x^2+c$
Точно решение (знаем началните стойности):
$f(x)=x^2+4$, при $f(0)=4$.

Сега ако разгледаме системата:

[tex]\begin{array}{|l} x'=5x-3y \\ y'=2x-2y \end{array}[/tex]

Правим същото нещо което споменах по-горе, и макар че никъде не интегрирахме, под капака направихме същото нещо: от информация за $x',y'$ намерихме $x,y$ и в процеса трябваше да познаем изгубената информация, като си измислим начални стойности $v(0)$.
Тоест това което съм ти дал е $точно решние$, а не това което учебника иска - $общо решение$. Защо го направих? Ами тук има една разлика - в примера който ти дадох имахме само една функция, и решаването без начални стойности не беше никакъв проблем. Тука обаче имаме система, и тази информация която ни е дадена за $x',y'$ е някак си "преплетана" (затова е и под формата на система). Това означава, тези изгубени стойности ще имат някаква странна зависимост, и общото решение ще е доста по-грозно.

Принципно никога не съм виждал задачи със системи от диференциални уравнение, които искат "общи решения", просто добавя още неща които трябва да знаеш по линейна алгебра за да не си играеш да пишеш много.

В матричен вид (това работи само и единствено за системи от вида $v'=Av$, за това не го включих, макар че системата е точно такава):

$v'=\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & -2\end{pmatrix}v$

За отговора ти трябват айгенстойностите на $A$ и съответните айгенвектори, които са:

$\lambda_1=-1$
$\lambda_2=4$

$\mu_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\mu_2=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$v=C_1e^{\lambda_1 t}\mu_1+C_2e^{\lambda_2 t}\mu_2$

$x=3C_1e^{4t}+C_2e^{-t}$
$y=C_1e^{4t}+2C_2e^{-t}$

Но този метод работи само в този случай, и само ако матрицата има реални айгенстойности и айгенвектори. Ако имаме система с нелинейни зависимости, няма как да я представим в този формат.

Трансформациите на Лаплас

Най-важното за нас свойство е, че тази трансформация ни дава алгебраична зависимост между $f'$ и $f$- нещо много важно за решаване на системата.

За нормалното преобразуване използвахме,
че ако $\mathcal{L} \{ f(t) \}=F(s)$
то $\mathcal{L} \{ f'(t) \}=sF(s)-f(0)$ (ето пак се появавят началните условия, за точна дефиниция)

А за обратното преобразуване използвахме $\mathcal{L}^{-1} \bigg\{ \frac{1}{s-a}\bigg\}=e^{-at}$

Обратното преобразувание е просто, това което имаш от дясно става това което е от ляво на таблицата.

Примери и ресурси

Ето този линк показва на кратко работата с матричната хомогенна форма http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/SolutionsToSystems.aspx

Ще ти дам два примера, първия ще е линейна хомогенна система (подобна на тази която си дал) и ще я реша по двата начина, с Лаплас, и с Айгенвектори и Айгенстойности.
И втория ще бъде нелинейна, нехомогонна система. Нея само с Лаплас ще може.

Първи пример:

$\begin{array}{|l} x'=x+4y \\ y'=2x-y \end{array}$

$v'=Av$

$A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$

С линейна алгебра:

Айгенстойностите:

$det(\lambda I - A)=0$

$\lambda_1=-3, \lambda_2=3$

$\mu_1=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mu_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end {pmatrix}$

Използваме: $v=C_1e^{\lambda_1 t}\mu_1+C_2e^{\lambda_2 t}\mu_2$

$x=-C_1e^{-3t}+2C_2e^{3t}$
$y=C_1e^{-3t}+C_2e^{3t}$

С Лаплас:

Нека $x(0)=1, y(0)=1$

$v'=Av$
$sV-v(0)=AV$
$(sI-A)V=v(0)$

$V=(sI-A)^{-1}v(0)$

$(sI-A)^{-1}=\begin{pmatrix} s-1 & -4 \\ -2 & s+1 \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{s^2-9}\begin{pmatrix} s+1 & 4 \\ 2 & s-1 \end{pmatrix}$

$V=\frac{1}{s^2-9}\begin{pmatrix} s+5 \\ s+1\end{pmatrix}$

$X=\frac{s+5}{s^2-9}$

$Y=\frac{s+1}{s^2-9}$

$x=-\frac{1}{3}(e^{-3t}+4e^{3t})$
$y=\frac{1}{3}(e^{-3t}+2e^{3t})$

(Тук даже се вижда че C_1 = \frac{1}{3}, C_2=\frac{2}{3})

За второто ще постна малко по-късно че сега имам работа.

[Гост]

Наистина много благодаря - страхотен сте! Но имам още няколко въпроса, нека преди това кажа, че почти със сигурност задачата на изпита ще е с общо решение от типа, който съм дал, тъй като имаме примерен вариант на изпита, като една от задачите е точно такава и това, което правят на изпита е просто малко да разменят евентуално стойностите. Не ми се вярва, след като на примерния се търси общото решение, на изпита да търсим точното. Или поне при втората част задачите бяха сходни с тези от примерния изпит.
Това го казвам във връзка с това, понеже казахте, че не сте виждали да се дават такива задачи... но явно при нас се, става на въпрос за ВТУ Тодор Каблешков.

Но нека се върнем към съществената част, а именно задачите. Нека видим дали правишно съм разбрал - ако се търси общо решение, съответно нямаме зададени стойности се решава САМО с айгенстойности и айгенвектори, а когато се търси точно решение, се решава с Лаплас?

Имам и друго питане относно примерите - благодсрен съм за тях, но може ли подробно обяснение на всяка стъпка в решението, ще ми бъде доста по-ясно, като е така нагледно обяснен примера. И тези айгенстойности и айгенвектори как се получават? Благодаря за вниманието!

[Гост]

Така оправих се сам как се намира [tex]\lambda[/tex] 1,2 но нещо не мога да се справя с \mu 1,2 дали може да обясните как се намират?

[Гост]

Дали ще може помощ? Все още се опитвам да намеря айгенвекторите, но са ми различни от това, което получавате Вие, колкото и да се опитвам

[Гост]

За [tex]\mu[/tex]1 получавам {1 \choose 2}, а за [tex]\mu[/tex] получвам като при вас {2 \choose 1}

[Sup3rlum]

Айген стойностите на една матрица $M$ се получават, като намериш корените на следното уравнение:

$det(\lambda I-M)=0$

При 2х2 матрица това изглежда така: $det\begin{bmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}= (\lambda - a)(\lambda - d)-bc=0$

Като получиш $\lambda_{1,2}$ намираш айгенвекторите по следния начин:

$M.\mu=\lambda\mu$

Ако използваме пак 2х2 матрица изглежда по следния начин:

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}$

За двете различни айгенстойности ще получиш два съответсващи айгенвектори.

Възможно е да не съм ги преписал вярно, защото ме мързеше да ги смятам на ръка и ги цъкнах на калкулатор.

[Гост]

Много благодаря!! Вече ги решавам без проблем благодарение на вашата помощ!!