Система диференциални уравнения

[Гост]

Здравейте,

Наложи ми се да помогна на приятел за решаване на курсова работа по висша математика. Въпреки, че не съм учила ВМ2 и ВМ3, то имам някакви основни познания по приложна математика и статистика и успях да схвана задачите с преобразувания на Лаплас (намиране на образи, оригинали, решаване на уравнения чрез операционен метод), по-лесните примери от теория на вероятностите (задачите, които не изискват задълбочена основа за решаването им). Все пак ми останаха две задачи, чиито решения все още ме глождят. Четох до каквато литература се добрах с интернет, в книжарниците няма много книги, които биха ми помогнали, а нямам достъп до универститетските библиотеки, тъй като вече не съм студентка.
Моля за помощ за две задачи - едната е пример от системи диференциални уравнения (решение по Лаплас), а другата е от раздел Случайни променливи.
1. Да се реши с операционен метод следната линейна хомогенна система диференциални уравнения с постоянни коефициенти при указаните начални условия:
x'=2x=3y
y'=-x

начални условия: x(0)=y(0)=1

Тук, от таблицата за производните, стигам до:

sX(s)-2X(s)-3Y(s)=1
sY(s)+X(s)=1

От различните теми тук, разбирам че трябва да продължа в насока матрица, съответно:
s-2; -3
1; s

*Съжалявам, че не използвам коректно математическите символи - скоби, надявам се да е достатъчно ясно.
По-нататък имам трудности в решението.


Не ме разбирайте погрешно, не желая да препиша решенията на задачите. Курсовата работа вече е предадена, просто бих искала да разбера метода на решаване на тези два примера. Ще се радвам, ако някой запознат с тази теория, да има времето и желанието, за да ги разгледа и приложи обяснението съвесем накратко.

Поздрави!

[Sup3rlum]

Добре е първо да се знае какво се има предвид под "хомогенна линейна система от диференциални уравнения". Този вид система е почти същата като една обикновена линейна хомогенна система, съответно може да се решава със същите техники.

Основната форма изглежда горе-долу така:

$v'=Av + f(t)$

Където $v'=\nabla v, f(t) \in \R^n, A : \R^n \rightarrow \R^n$ т.е. отляво имаме вектор с почленни производни, отдясно квадратна матрица приложена върху оригиналните функции. $f(t)$ е "остатъчната част", и е векторна функция спрямо основния параметър. Хомогенните такива уравнения са когато $f(t)=0$, а нехомогенните когато $f(t)\ne 0$.

Системата:

$\begin{array}{|l} x' = 2x-3y \\ y'= -x\end{array}$

Може да се запише като:

$\begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$

От тук има два варианта:
1. Решаване с айгенвектори и айгенстойнности.
2. Решаване с Лаплас трансформация.

За 1.) Отговорът изглежда просто така: $v=C_1e^{\lambda_1t}\mu_1+C_2e^{\lambda_2t}\mu_2$

Където $\lambda_n$ е $n$-тата айгенстойност и $\mu_n$ принадлежащия айгенвектор на $A$.

За 2.): Така като като преобразуванието на Лаплас е интеграл - има линейност, работи както почленно, така и с цели линейни системи:

$\mathcal{L}\{v'=Av\} \Rightarrow sV-v_0=AV$

$sV-AV=v_0$
$V=(sI-A)^{-1}v_0$

$sI-A=\begin{pmatrix}s-2 & 3 \\ 1 & s\end{pmatrix}$

$(sI-A)^{-1}v_0=\frac{1}{s^2-2s-3}\begin{pmatrix}s & -3 \\ -1 & s-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$

$V=\frac{1}{s^2-2s-3}\begin{pmatrix}s+3 \\ s-3\end{pmatrix}$

Което може да се опрости и след това да се приложи обратната Лаплас трансформация.

В двата случая, ако не ме лъжат сметките трябва да получиш:

$v=e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow x=y=e^{-t}$