Първото ми диференциално уравнение

[Davids]

$y''' - 4y'' = 3x^2 + x - 2$

Успях да намеря първата част от решението, но вторият полином ми убягва. И генерално бих се радвал на едно примерно решение, описано по тертип, тъй като тепърва си изграждам навиците в сферата.

[peyo]

$y''' - 4y'' = 3x^2 + x - 2$

Успях да намеря първата част от решението, но вторият полином ми убягва.

Да решим ураввнението с отгатване!

Като гледаме, че разликата на двете производни е полином, ще търсим решение което също е полином и то от 4-та степен, заради 2-тата производна с полином отдясно на 2-ра степен:

$y = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Тогава:
$y' = 4ax^3+3bx^2+2cx+d$
$y'' = 12ax^2+6bx+2c$
$y''' = 24ax+6b$

$y''' - 4y'' = 3x^2 + x - 2$
=>
$24ax+6b - 4*(12ax^2+6bx+2c)= 3x^2 + x - 2$
$24ax+6b - 48ax^2-24bx-8c= 3x^2 + x - 2$
$ (-48a)x^2 + (24a -24b)x +(6b -8c)= 3x^2 + x - 2$

[tex]\begin{array}{|l} -48a= 3 \\ 24a -24b = 1 \\ 6b -8c = -2 \end{array}[/tex]

$а = -1/16, b=-5/48, c=11/64

$y = -\frac{x^4}{16}-\frac{5x^3}{48} + \frac{11x^2}{64}+dx+e$

И генерално бих се радвал на едно примерно решение, описано по тертип, тъй като тепърва си изграждам навиците в сферата.

Аз нямам никакви навици в сферата, затова не бих препоръчал това решение за пример. Освен това ми се струва, че трябва да има още една константа, а не само 2-те d и e в решението, но някъде се е загубила май. А дали има други функции, които са решение също не мога да кажа.

[peyo]

... Освен това ми се струва, че трябва да има още една константа, а не само 2-те d и e в решението, но някъде се е загубила май.

Сетих се къде се губи липсващата константа. Тя ще се появи когато рещим уравнението:
$y''' = 4y''$

Тук ще търсим решение от вида $y = fe^{gx}$. Тогава:

$fg^3e^{gx} = 4fg^2e^{gx}$
$g^3 = 4g^2$
$g=4$

И така крайния отговор с цели 3 константи става:

$y = -\frac{x^4}{16}-\frac{5x^3}{48} + \frac{11x^2}{64}+Dx+E + Fe^{4x}$