ДУ, МОЛЯ ЗА ПОМОЩ

[katica_1968]

1. ye^xdx+(y+e^x)dy=0
2. y'=1-x-y/e^y+x
3. e^-ydx-(2y+xe^-y)dy=0
4. y/xdx+(y^3+lnx)dy=0
5. (xe^y+e^x)y'+e^y+ye^x=0

[mp3]

[tex]ye^xdx+(y+e^x)dy=0[/tex]
За функциите [tex]M (x,y) = ye^x, N(x,y)=y +e^x[/tex] имаме [tex]M_{x } = N_{y } = e^x[/tex].
Търсим функция U(x,y), за която [tex]U_{x } = y.e^x , U_{y } = y + e^x[/tex]
[tex]U_{x } = y.e^x[/tex]
[tex]U(x,y) =\int y.e^x dx =y. \int e^x dx = y. e^x + c(y)[/tex]
[tex]U_{y } =( y. e^x + c(y) )^{`}_{y }[/tex]
[tex]U_{y } = e^x + c`(y)[/tex]
[tex]U_{y } = y + e^x[/tex]
Следователно [tex]c`(y) = y[/tex]
[tex]c(y) = \frac{y^{2}}{2} + const[/tex]

Общото решение на уравнението е: [tex]ye^x + \frac{y^{2}}{2} = const[/tex]

[mp3]

Петте задачи са от този тип - с пълен диференциал.