Коши ПОМОЩ

[evangelche]

Да се решат уравненията:
а) (x)' - x = t(e^t)
б) (x)' + (3/t) x = (2(t^2)) , за x(1) = 4

[peyo]

Да се решат уравненията:
б)$ x' + \frac{3 x}{t} = 2t^2 $, за x(1) = 4

Такива уравнения се решават май само с отгатване.

Да се замислим малко първо каква функция на t може да съществува такава, че производната и плюс същата фунция разделена на t ще даде полином от 2-ра степен? Ясно, че няма да е нещо екзотично като sin, cos или exp a, по-скоро ще е някакъв полином може би?

Може би първо да помислим какво би могло да разкара t в знаменателя? Ако имаме полином на н-та za x във формулата и разкарваме всякакви константи които са множители:

$ p^{n-1} + \frac{ p^n}{p^1} = p^2 $

$ p^{n-1} + p^{n-1} = p^2 $
$ 2p^{n-1} = p^2 $

Продължаваме да не обръщаме внимание на множотелите:

$p^{n-1} = p^2$
$n-1=2$

$n=3$

Хм. Ако не грешим, това означава, че решението ще е някакъв полином от 3-та степен.

$x(t)= at^3+bt^2+ct+d$

$x'(t)= 3at^2+2bt+c$

Заместваме:

$3at^2+2bt+c + \frac{3 (at^3+bt^2+ct+d)}{t} = 2t^2$

$3at^2+2bt+c + 3at^2+3bt+3c+3d/t = 2t^2$

$6at^2+5bt+4c+3d/t = 2t^2$

Сега 2 полинома да за равни трябва коефицентите им пред съответните степени да са равни:


[tex]\begin{array}{|l} 6a = 2 \\ 5b = 0 \\ 4c=0 \\ 3d =0 \end{array}[/tex]

Така почти всичко е 0 с изключение на :

$a=1/3$

Връщаме обрат в $x(t)= at^3+bt^2+ct+d$ и получваме отговор:

$x(t)= \frac{t^3}{3}$

Проверка ни показва, че тази функция е решение. Супер!

За съжаление ни липсва свободна констнанта. Нея може би ще намерим като решим хомогенното уравнение:

$x' + \frac{3 x}{t} = 0$

$\frac{dx}{dt} + \frac{3 x}{t} = 0$

$\frac{dx}{dt} = -\frac{3 x}{t} $

$\frac{dx}{3x} = -\frac{dt}{t} $

$\int\frac{dx}{3x} = -\int\frac{dt}{t} $

$log(x)/3 = -log(t) + C$

$log(x^{1/3}) = log(t^{-1}) + log(C)$

$log(x^{1/3}) = log(Ct^{-1})$

$x^{1/3} = Ct^{-1}$

$x = \frac{C}{t^3}$

Много хубава функция получихме! Сега събираме с първото решение и за краен отговор получаваме:

$x(t)= \frac{t^3}{3} + \frac{C}{t^3}$

Прроверка показва, че тази функция е решение с което задачата е решена.

(Е, почти. Ще оставим частта за x(1) = 4 за домашно.)

[peyo]

а) x' - x = te^t

Отново тук не можем направо да разделим променливите, затова ще се опитаме да отгатнем решението.

Ще се опитаме да търсим някаква проста контрукция която много прилича на дясната страна като сложим параметри където си мислим, че имат смисъл. Например:

$x(t) = at^be^t$
$x'(t) = \frac{a b t^{b} e^{t}}{t} + a t^{b} e^{t}$

Заместваме:

$\frac{a b t^{b} e^{t}}{t} + a t^{b} e^{t} - at^be^t = te^t$

$a b t^{b-1} e^{t} = te^t$

Правим система от сътветните параметри на същите позиции:

[tex]\begin{array}{|l} a b = 1 \\ b-1 = 1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a = 1/2 \\ b = 2 \end{array}[/tex]

И получихме решение:

$x(t) = \frac{t^2e^t}{2}$

Проверка показва, че тази функция е решение. Търсим константа като решим хомогенното уравннеие:

$ x' - x =0$

$ dx/dt - x =0$

$ \int dx/x = \int dt$

$log(x) = t +C$

$x = Ce^t$

Това събираме с предното и крайната финкция е:

$x(t) = Ce^t + \frac{t^2e^t}{2}$

С което задачата е решена.

[Sup3rlum]

Да се решат уравненията:
а) (x)' - x = t(e^t)
б) (x)' + (3/t) x = (2(t^2)) , за x(1) = 4

Линейно диф у-ние от първа степен с интегриращ фактор $x'+P(t)x=Q(t)$

a) $x'-x=te^t$

$IF=e^{\int P(t)dt}=e^{-\int dt}=e^{-t}$

Умнажаваш по $IF$:

$e^{-t}x'-e^{-t}x=t$
$(e^{-t}x)'=t$
$e^{-t}x=\int tdt$
$e^{-t}x=\frac{t^2}{2}+C$
$x=\frac{e^tt^2}{2}+Ce^t$

б) $x'+\frac{3x}{t}=2t^2$

$IF=e^{\int P(t)dt}=e^{\int \frac{3}{t}dt}=e^{3lnt}=t^3$


$t^3x'+3t^2x=2t^5$
$(t^3x)'=2t^5$
$t^3x=\frac{t^6}{3}+C$
$x=\frac{t^3}{3}+\frac{C}{t^3}$