Differential equation

[man111]

Solution of differential equation [tex]\displaystyle y''+4xy'-16y=0, y(0)=7,y'(0)=0[/tex]

[pipi langstrump]

Полагаме $\frac{y'}{y} = f$.

Уравнението се свежда до $f' + f^2 +4xf -16 = 0$, което е уравнение на Riccati. Едно частно решение ще търсим във вида $ax$ и след заместване виждаме, че $a$ е корен на уравнението $a^2 + 5a - 16 = 0$. Сега остана да погледнем в Гугъл как се решаваха уравненията на Riccati, ако знаем едно частно решение.

[vezni]

С трансформация на Лаплас. Нека $Y(p)=L[y]$. $L[y'']=p^2Y(p)-py(0)-y'(0)=p^2Y(p)-7p$. $L[xy']=-\frac{d}{dp}L[y']=-\frac{d}{dp}\left(pY(p)-y(0)\right)=-Y(p)-pY'(p)$.
Като приложим трансформацията за цялото уравнение и опростим, получаваме
$Y'(p)-\frac{p^2-20}{4p}Y(p)=-\frac{7}{4}$, което е стандартно диференциално уравнение от 1-ви ред. Решението е
$Y(p)=\frac{7}{p}+\frac{112}{p^3}+\frac{896}{p^5}+ce^{p^2/8}p^5$, $c$ - константа. По предположение $y$ не расте по-бързо от експоненциална функция, откъдето
$\lim_{p\to\infty}Y(p)=0\Rightarrow c=0$, тоест $Y(p)=\frac{7}{p}+\frac{112}{p^3}+\frac{896}{p^5}$. Връщайки трансформацията на Лаплас, намираме $y(x)=\frac{112}{3}x^4+56x^2+7$.