Моторна лодка

[Гост]

Моторна лодка се движи по мирно езеро със скорост 20км/h. В един момен моторът се изключва и след 20 секунди скоростта става 8км/h. Ако съпротивлението на водата е пропорционално на скоростта на лодката, да се намери скоростта 20 минути след изключването на мотора.

[Гост]

Моторна лодка се движи по мирно езеро със скорост 20км/h. В един момент моторът се изключва и след 20 секунди скоростта става 8км/h. Ако съпротивлението на водата е пропорционално на скоростта на лодката, да се намери скоростта 20 минути след изключването на мотора.

[peyo]

Моторна лодка се движи по мирно езеро със скорост 20км/h. В един момент моторът се изключва и след 20 секунди скоростта става 8км/h. Ако съпротивлението на водата е пропорционално на скоростта на лодката, да се намери скоростта 20 минути след изключването на мотора.

Диференциалните уравнения са дъ бест...

Съпротивлението е сила която действа върху лодката наобратно. И тази сила е:
$F=kv$

Също така силата с която водата действа върху лодката за да й промени скоростта е според един англичанин( https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_laws_of_motion#Second ):
$F=am$

И тези две са еднакви във всеки един момент (това съм съгласен, че не е очевидно, даже може да не е варно, но е варно):

$am=kv$

А ускорението е производната на скоростта:

$\dot v m=kv$

Или да махнем една константа:

$w=k/m$
$\dot v =wv$

Което вече заприлича на диференциално уравнение, което можем да решим. Може би (човек никога не знае с диференциалните уравнение, кога могат и кога не могат да се решат).

[tex]\frac{dv}{dt} = wv[/tex]

[tex]\frac{dv}{v} = wdt[/tex]

[tex]\int \frac{dv}{v} = \int wdt[/tex]

[tex]log(v) = wt +C[/tex]

Да се опитаме да намерим двете константи.

t=0, v=20
t=20, v=8


[tex]\begin{array}{|l}log(20) = C \\ log(8) = 20w +C \end{array}[/tex]

In [197]: var("w,C")
Out[197]: (w, C)

In [198]: solve([log(20)-C, log(8)-20*w-C])
Out[198]: {C: log(20), w: -log(20)/20 + 3*log(2)/20}

In [200]: float(log(20)), float(-log(20)/20 + 3*log(2)/20)
Out[200]: (2.995732273553991, -0.04581453659370775)

[tex]v = e^{wt +C}[/tex]

[tex]v(t) = e^{-0.04581453659370775t +2.995732273553991}[/tex]

$v(20*60) = e^{-0.04581453659370775*20*60+2.995732273553991}$

In [201]: exp(-0.04581453659370775*20*60+2.995732273553991)
Out[201]: 2.65845599156983e-23 км/h

Както виждаме скороста е много малка след 20 минутки. Сумняявам се, че някой ще успее да я измери дори.

XOXOXO

santa_boat1.jpg (41.65 KiB) Прегледано 1090 пъти

[Гост]

peyo, evala, poluchih sushtijo otgovor, samo che na teb nekoi vziskatelen daskal mozhe da ti lepi 2 minusa, poznaj zashto...

[pipi langstrump]

И тези две са еднакви във всеки един момент (това съм съгласен, че не е очевидно, даже може да не е варно, но е варно):

$am=kv$

Вярно, ама не съвсем.

Другото, което е - когато работиш в едни единици (например km и часове), трябва всички стойности да се превърнат в тях.

[peyo]

И тези две са еднакви във всеки един момент (това съм съгласен, че не е очевидно, даже може да не е варно, но е варно):

$am=kv$

Вярно, ама не съвсем.

Другото, което е - когато работиш в едни единици (например km и часове), трябва всички стойности да се превърнат в тях.

Опс! Това с мерните единици съм го объркал. Да видим дали отговора ще се е друг, ако превърнем секундите и минутите в часове:

20 сек = 20/(60*60) = 0.005555555555555556 часа
20 мин = 20/60 = 0.3333333333333333 часа

In [197]: var("w,C")
Out[197]: (w, C)

In [206]: solve([log(20)-C, log(8)-0.005555555555555556*w-C])
Out[206]: {C: 2.99573227355399, w: -164.932331737348}

In [207]: exp(-164.932331737348*0.3333333333333333 +2.99573227355399)
Out[207]: 2.65845599156976e-23

Хмм... Получихме същата стойност по някаква причина. Може би защото не използвахме никакви константи като $g$, където това би било важно. Но във всеки случай, смесването на мерни единици е лошо и трябва да се избягва, ако не за друго, то да не се чудим защо отговора е верен.

[Гост]

ne si oburkal mernite edinici, a prosto ne si gi sinhroniziral...pomisli po purvija vupros...

[pipi langstrump]

Съпротивлението е сила която действа върху лодката наобратно. И тази сила е:
$F=kv$

Това е така, но ако приемем, че k е отрицателно. По принцип се приема, че е положително (произведение от няколко положителни величини като динамичен вискозитет и характерен размер, например) и тогава правилното уравнение ще e F = -kv.