Нелинейно диференциално уравнение

[Гост]

Дадено е следното уравнение ( май се казва на Ойлер):
х^2 y'' + 3x y' +y = x^2
Съветват ни да направим субституция t=ln(x) и ни дават подсказка "Характеристичното уравнение има двоен корен".
Въртя го, суча го, пред y''(t) се мъдри e^t.
Как да го докарам до y''(t) + 2 y'(t) + y(t) =0
или нещо друго с двоен корен?!?

[pipi langstrump]

Не съм запознат с тези уравнения на Ойлер и полагания (или не си ги спомням), но в случая бих го направил така:

$x^2y''+ 3xy' + y=x^2$

$x^2y'' + 2xy' + xy' + y=x^2$

$x^2y''+ (x^2)'y' + (xy)'=x^2$

$(x^2y')' +(xy)' = (x(xy' + y))' = (x(xy)')' = x^2$

Оттук вече е лесно.

[pipi langstrump]

Ето с полагането как ставало, тук е обяснено (третия пример) -
https://onlinehw.math.ksu.edu/math340bo ... /euler.php

Така даже е по- лесно, полагаме t = ln x и уравнението се преобразува до $y''(t) - y'(t) + 3y'(t) + y(t) = e^{2t}$, което е обикновено линейно уравнение.

[Гост]

Много благодаря за светкавичния отговор! Развитието на темата от университета в Канзас е супер!

[Гост]

Вчера малко прибързано се зарадвах... Реших уравнението (хомогенното и после нехомогенното) и получих:
У= к1/x + k2 * ln(x)/x + x^2/9
НО!
Задачата не свършва дотук - има още условия за решение на Коши:
Y(0) = 0
Y'(0)=1
И как да сложа 0 в знаменателя?
Май прегрях от диференциални уравнения...

[pipi langstrump]

Нулата се "слага" с граничен преход х->0, но в случая това не върши работа, защото каквито и стойности на к1 и к2 да изберем, се получават безкрайности. Само при к1 = к2 = 0 се получава нещо различно, но то пък не изпълнява началните условия на задачата. Значи решението, ако съществува изобщо, не е от фамилиите на общото решение. Такъв вид решение се наричаха особено (singular), но как ще се намери в случая идея си нямам.

[Гост]

Е, това, че няма решение, също е решение. Много благодаря!

[Гост]

Дадено е следното уравнение ( май се казва на Ойлер):
х^2 y'' + 3x y' +y = x^2
Съветват ни да направим субституция t=ln(x) и ни дават подсказка "Характеристичното уравнение има двоен корен".
Въртя го, суча го, пред y''(t) се мъдри e^t.
Как да го докарам до y''(t) + 2 y'(t) + y(t) =0
или нещо друго с двоен корен?!?

ti kude vidja nelinejno uravnenie, ve? proizvodnata na koja stepen e?

[Гост]

Дадено е следното уравнение ( май се казва на Ойлер):
х^2 y'' + 3x y' +y = x^2
Съветват ни да направим субституция t=ln(x) и ни дават подсказка "Характеристичното уравнение има двоен корен".
Въртя го, суча го, пред y''(t) се мъдри e^t.
Как да го докарам до y''(t) + 2 y'(t) + y(t) =0
или нещо друго с двоен корен?!?

znachi ne mogat da ti kazvat polozhi t=ln x (x>0) i sled tui da ti kazhat pri x=0 y e edi kvo si...ili te pishat gluposti, ili ti neshto ne si razbral

[pipi langstrump]

znachi ne mogat da ti kazvat polozhi t=ln x (x>0) i sled tui da ti kazhat pri x=0 y e edi kvo si...ili te pishat gluposti, ili ti neshto ne si razbral

Защо, какъв е проблема? Нали в крайна сметка това уравнение трябва да се реши по някакъв начин, пък после се мисли за началните условия. Ами ако условията бяха у(0) = у'(0) = 0, тогава уравнението има решение от семействата на общото и се намира с този метод.

[Гост]

to nema nikuv problem, ama treba da objasnish kvo polagash kak, zashto...konstantite go pokrivat, ama ti proveri li dali ima reshenija pri x=0? to e trivialno, ama tija ot kansas sushto ne spomenavat tija neshta...
koeto logichno vodi do vuprosa: kak da se reshi/polozhi pri x<0?

[pipi langstrump]

Проверил съм, естествено. На всеки е ясно, че след полагане не винаги новото уравнение е еквивалентно на първоначалното и трябва да се направи проверка после, не виждам какво има да се обяснява толкова. Както и при делене на х, каквото би се наложило, ако се реши уравнението по метода, който написах първоначално.

Със същото полагане се решава и при х<0, това че полагането не е дефинирано в реални числа при такива х не го прави неизползваемо или некоректно. Тогава константата к_2 трябва да е нула, за да има реално решение и у(0) трябва да е 0. Примерно с начални условия у(0) = 0 и у'(1) = 1 решението е у =-7/9х + х^2/9 и е валидно за всички реални числа без 0.

[Гост]

Ne, pomisli malko...

[pipi langstrump]

За кое не?

[Гост]

polaganeto ne e tochno ln x, nuzhna e malka kozmetichna promjana...

[pipi langstrump]

ln x при х>0 и ln(-x) при х <0, това ли искаш да кажеш?

[Гост]

napravi go da vidim kvo sha sa poluchi

[pipi langstrump]

Има ли смисъл... ще се получи същото.
Всъщност автора не е написал коректното решение. Хикса под логаритъма трябва да е с модул, защото [tex]\int \frac{dx}{x} = \ln|x|[/tex]. Така че няма проблем с отрицателните стойности.

[Гост]

samo tam li sha ima modul?