Как да го реша

[Гост]

received_2232096943845572.jpeg (64.04 KiB) Прегледано 1040 пъти

yy''+y=(y')^2
Стигам до някъде полагам
И получавам
Как да го довърша

[peyo]

received_2232096943845572.jpeg

yy''+y=(y')^2
Стигам до някъде полагам
И получавам
Как да го довърша

Какво е p и p' ?
Да предположим, че $p = f(y)$ и [tex]p' = \frac{dp}{dy}[/tex]
[tex]p' = \frac{p}{y} - \frac{1}{p}[/tex]

[tex]\frac{dp}{dy} = \frac{p}{y} - \frac{1}{p}[/tex]

[tex]py\frac{dp}{dy} = p^2 - y[/tex]

[tex]pydp = p^2dy - ydy[/tex]

[tex]pdp = \frac{p^2dy}{y} - dy[/tex]

[tex]\int pdp = \int \frac{p^2dy}{y} - \int dy[/tex]

[tex]p^2/2 = \int \frac{p^2dy}{y} -y[/tex]

$u = p^2$

[tex]u/2 = \int \frac{udy}{y} -y[/tex]

[tex]\frac{u'}{2} = \frac{u}{y} -1[/tex]

[tex]\frac{u'}{2 } = \frac{u - y}{y}[/tex]

[tex]\frac{yu'}{2} = u - y[/tex]

Wolfram казва, че горното има много хубаво решение:
$u = Cy^2+2y$

$p^2 = Cy^2+2y$

$p = \pm \sqrt{ Cy^2+2y}$

Да направим проверка:

In [57]: simplify(expand((diff(sqrt(C*y**2 +2*y),y) - (sqrt(C*y**2 +2*y))/y +1/(sqrt(C*y**2 +2*y)))))
Out[57]: 0

In [58]: simplify(expand((diff(-sqrt(C*y**2 +2*y),y) - (-sqrt(C*y**2 +2*y))/y +1/(-sqrt(C*y**2 +2*y)))))
Out[58]: 0

[Какаши Сенсей]

received_2232096943845572.jpeg

yy''+y=(y')^2
Стигам до някъде полагам
И получавам
Как да го довърша

Какво е p и p' ?
Да предположим, че $p = f(y)$ и [tex]p' = \frac{dp}{dy}[/tex]
[tex]p' = \frac{p}{y} - \frac{1}{p}[/tex]

[tex]\frac{dp}{dy} = \frac{p}{y} - \frac{1}{p}[/tex]

[tex]py\frac{dp}{dy} = p^2 - y[/tex]

[tex]pydp = p^2dy - ydy[/tex]

[tex]pdp = \frac{p^2dy}{y} - dy[/tex]

[tex]\int pdp = \int \frac{p^2dy}{y} - \int dy[/tex]

[tex]p^2/2 = \int \frac{p^2dy}{y} -y[/tex]

$u = p^2$

[tex]u/2 = \int \frac{udy}{y} -y[/tex]

[tex]\frac{u'}{2} = \frac{u}{y} -1[/tex]

[tex]\frac{u'}{2 } = \frac{u - y}{y}[/tex]

[tex]\frac{yu'}{2} = u - y[/tex]

Can you explain me how do you differential [tex]u/2 = \int \frac{udy}{y} -y[/tex] when it is with respect for y?

[peyo]

[tex]p^2/2 = \int \frac{p^2dy}{y} -y[/tex]

$u = p^2$

[tex]u/2 = \int \frac{udy}{y} -y[/tex]

[tex]\frac{u'}{2} = \frac{u}{y} -1[/tex]

[tex]\frac{u'}{2 } = \frac{u - y}{y}[/tex]

[tex]\frac{yu'}{2} = u - y[/tex]

Can you explain me how do you differential [tex]u/2 = \int \frac{udy}{y} -y[/tex] when it is with respect for y?

Easy!

$ \int \frac{udy}{y} = \int \frac{u}{y}dy = \int W dy $

$(\int W dy)' = \frac{d(\int W dy)}{dy} = W$