Дали съм решил задачата както трябва?

[aXuita]

Ще прикача файл със снимка на задачата.

[peyo]

Ще прикача файл със снимка на задачата.

Може би ако снимката не е отрязана и е малко по-голяма така, че да можем да прочетем какво пише, то някой ще може да провери решението?!

[ammornil]

Според мен, частичната Ви производна спрямо радиуса на основата не е вярна. Освен това, другата частна производна не може да бъде нула.
[tex]\pi\cdot{r}\cdot{l}=const, \quad V_{max}(r;l)=? \quad r \in\mathbb{R^{+}}, l\in\mathbb{R^{+}} \\ V(r;l)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}}_{u(r)}\underbrace{\cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}}_{v(r)} \\ \frac{\partial{V}}{\partial{r}}=\frac{2}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r \cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}+\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}\cdot{}(-2\cdot{r})\cdot{}\frac{1}{2\cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}}=\frac{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r \cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}\cdot{}\left(2-\frac{r}{l^{2}-r^{2}} \right) \\ \frac{\partial{V}}{\partial{l}}=\frac{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r^{2}\cdot{}2l\cdot{}\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{l^{2}-r^{2}}}=\frac{\pi\cdot{}r^{2}\cdot{}l}{3\cdot{}\sqrt{l^{2}-r^{2}}} \ne 0 \hspace{0.5em} \forall{(r;l)}[/tex]

[aXuita]

Според мен, частичната Ви производна спрямо радиуса на основата не е вярна. Освен това, другата частна производна не може да бъде нула.
[tex]\pi\cdot{r}\cdot{l}=const, \quad V_{max}(r;l)=? \quad r \in\mathbb{R^{+}}, l\in\mathbb{R^{+}} \\ V(r;l)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}}_{u(r)}\underbrace{\cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}}_{v(r)} \\ \frac{\partial{V}}{\partial{r}}=\frac{2}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r \cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}+\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}\cdot{}(-2\cdot{r})\cdot{}\frac{1}{2\cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}}=\frac{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r \cdot{\sqrt{l^{2}-r^{2}}}\cdot{}\left(2-\frac{r}{l^{2}-r^{2}} \right) \\ \frac{\partial{V}}{\partial{l}}=\frac{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r^{2}\cdot{}2l\cdot{}\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{l^{2}-r^{2}}}=\frac{\pi\cdot{}r^{2}\cdot{}l}{3\cdot{}\sqrt{l^{2}-r^{2}}} \ne 0 \hspace{0.5em} \forall{(r;l)}[/tex]

Да, но като тръгнеш да опростяваш уравнението, не е ли правилно да се подходи по този начин? Просто опростих уравнението от двете страни, но не съм напълно запознат с дълбочините на тези задачи.

[aXuita]

Ще прикача файл със снимка на задачата.

Може би ако снимката не е отрязана и е малко по-голяма така, че да можем да прочетем какво пише, то някой ще може да провери решението?!

Да, съжалявам. Тук ще поставя по-мащабна снимката.

[ammornil]

Не разбирам какво опростявате.
Аз пък не видях, че околната повърхнина е дадена като параметър. В този случай, задачата се свежда до функция на една променлива и няма нужда от частни производни.
[tex]\pi\cdot{r}\cdot{l}=S \Rightarrow l=\frac{S}{\pi\cdot{r}}, \\ \quad h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{\frac{S^{2}}{\pi^{2}\cdot{r^{2}}}-r^{2}}=\frac{\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}}{\pi\cdot{}r} \\ V(r;l)=\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}\cdot{h} \Rightarrow V(r)=\frac{1}{3}\cdot{\pi}\cdot{r^{2}}\cdot{\frac{\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}}{\pi\cdot{}r}}[/tex]$$ V(r)=\frac{1}{3}\cdot{}r\cdot{}\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}} $$[tex]V'(r)=\frac{1}{3}\cdot{}\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}+\frac{1}{3}\cdot{r}\cdot{}(-4\cdot{}\pi^{2}\cdot{}r^{3})\cdot{}\frac{1}{2\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}}=\frac{1}{3}\cdot{\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}}\cdot{}\left( 1-\frac{2\cdot{}\pi^{2}\cdot{}r^{4}}{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}} \right) \\ \quad \exists V(r)_{extr} \Rightarrow V'(r)=0 \Rightarrow \\ \quad \begin{array}{lcl} \sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}=0 & \cup & 1-\frac{\normalsize{2\cdot{}\pi^{2}\cdot{}r^{4}}}{\normalsize{S^{2}-\pi^{2}\cdot{r^{4}}}}=0 \\ r^{4}=\frac{\normalsize{S^{2}}}{\normalsize{\pi^{2}}} & \cup & -r^{4}-2\cdot{}r^{4}+\frac{\normalsize{S^{2}}}{\normalsize{\pi^{2}}}=0 \\ r=\sqrt{\frac{\normalsize{S}}{\normalsize{\pi}}} & \cup & r^{4}=\frac{\normalsize{S^{2}}}{\normalsize{3\pi^{2}}} \\ r_{1}=\sqrt{\frac{\normalsize{S}}{\normalsize{\pi}}} & \cup & r_{2}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\cdot{}\sqrt{\frac{\normalsize{S}}{\normalsize{\pi}}} \end{array}\\ V(r_{1})=V_{min} \\ V(r_{2})=V_{max}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\cdot{}\sqrt{\frac{\normalsize{S}}{\normalsize{\pi}}}\cdot{}\sqrt{S^{2}-\pi^{2}\cdot{\frac{1}{3}\cdot{}\frac{\normalsize{S^{2}}}{\normalsize{\pi^{2}}}}}=\frac{S}{3\sqrt[4]{3}}\cdot{}\sqrt{\frac{S}{\pi}\cdot{}\frac{2}{3}}[/tex]

Проверете верността на преобразуванията, защото писах в ЛАТЕКС.