ydrax написа:Здравейте!
Дали някой ще може да ми реши следните задачи и евентуално да ми ги разясни?
Условие: Намерете каноничния вид на ЧДУ
Задача 1:[tex]U_{xx} - 2cosxU_{xy} - (3 + sin^{2}x)U_{yy}=yU_{y}[/tex]
Отг.: [tex]U_{\x\eta} = \frac{\x - \eta}{32}(U_{\x}-U_{\eta})[/tex] , [tex]\begin{tabular}{|l}\x = 2x + sinx + y\\ \eta = 2x - sinx - y \end{tabular}[/tex]
Първо е необходимо да определим какъв тип е уравнението:
за целта пресмятаме следната детерминанта:
[tex]\Delta =-\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\a_{12} & a_{22}\end{array}\right|[/tex], където кефициентите намираме след като сравнима даденото ЧДУ със следното
[tex]a_{11}.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2a_{12}.\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} +a_{22}.\frac{\partial^2 u}{\partial u^2}+...=0[/tex]
За кефициентите получаваме:
[tex]a_{11}=1[/tex]
[tex]a_{12}=-\cos{x}[/tex]
[tex]a_{22}=-(3+\sin ^2{x})[/tex]
[tex]\Delta =a_{12}^2-a_{11}.a_{22}=\cos^2{x}+3+\sin^2{x}=4>0[/tex]- от кето следва, че ЧДУ е от хиперболичен тип. (Можем да минем и без това изследване, но по този начин категорично се предопределя какъв тип е отговора на задачата).
Съставяме характеристичното уравнение на даденото частно.
[tex]dy^2 + 2 \cos{x} dxdy -(3+\sin^6x)dx^2=0[/tex] -делим на [tex]dx^2[/tex]
[tex]{\(\frac{dy}{dx}\)}^2 +2 \cos{x}\frac{dy}{dx }-3+\sin^2{x}=0 \Leftrightarrow (\frac{dy}{dx}+\cos{x}+2 )(\frac{dy}{dx}+\cos{x}-2)=0[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}=-\cos{x}-2[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}=-\cos{x}+2[/tex]
Интегрираме последните две и получаваме:
[tex]y_1=-2x-\sin{x}+C_1 \Leftrightarrow C_1=2x+\sin{x}+y_1[/tex]
[tex]y_2=2x-\sin{x}+C_2 \Leftrightarrow C_2=-2x+\sin{x}+y_2 \Leftrightarrow C_3=2x-\sin{x}-y_2[/tex]
Съгласно получените резултати правим следната субституция на променливите:
[tex]\xi=2x+\sin{x}+y[/tex]
[tex]\eta=2x-\sin{x}-y[/tex]
Предстои намиране на всички частни производни на функцията u до втори ред.
[tex]\frac{\partial u}{\partial x}=(2+\cos{x})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(2-\cos{x})\frac{\partial u}{\partial \eta}[/tex]
[tex]\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}-\frac{\partial u}{\partial \eta}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\sin{x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+(2+\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}.\frac{\partial \xi}{\partial x}+(2+\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}.\frac{\partial \eta}{\partial x}+
\sin{x}\frac{\partial u}{\partial \eta}+(2-\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}.\frac{\partial \eta}{\partial x}+(2-\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}.\frac{\partial \xi}{\partial x}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\sin{x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+(2+\cos{x})^2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+(2+\cos{x})(2-\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}+
\sin{x}\frac{\partial u}{\partial \eta}+(2-\cos{x})^2\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+(2-\cos{x})(2+\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}- 2.\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 u}{\partial x .\partial y}= (2+\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}- (2+\cos{x}).\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}+(2-\cos{x}).\frac{\partial^2 u}{\partial \eta \partial \xi}- (2-cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial^2 u}{\partial x .\partial y}= (2+\cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}-2.\cos{x}.\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}- (2-cos{x})\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}[/tex]
Всичко това заместваме в първоначалното частно уравнение и опростяваме:
[tex]\frac{\partial^2 u}{\partial x .\partial y}+ \frac{(\eta-\xi)}{32}(\frac{\partial u}{\partial \xi}-\frac{\partial u}{\partial \eta})=0[/tex]- търсеният каноничен вид. Това уравнение има и втора канаонична форма при друго полагане.
ПП. План за работа:
1. Намиране на видът на ЧДУ.
2. Съставяне на характеристичното уравнение и неговото решаване.
3. Смяна на променливите в зависимост от решенята на характеристичното уравнение.
4. Намиране на всички частни производни до втори ред включително, за функцията U.
5. Заместване на тези производни в първоначалното уравнение и опростяване (разбира се трябва да получите познат хиперболичен тип опростено ЧДУ в противен случай някъде сме сбъркали).
Меню
