Намерете кривите

[seppen]

Намерете кривите, за които площта на триъгълника, образуван от пресичането на абсцисата и ординатата е постоянно число [tex]a^2[/tex].
Трябва да се сведе до разделящи се променливи.
За съжаление, единствената литература, която имам е на руски и нищо не разбирам.

Стигам до
[tex]y(0)x_0 = a^2\\y(x_0)=0[/tex]
Но това не е нищо.

[Flame]

Намерете кривите, за които площта на триъгълника, образуван от пресичането на абсцисата и ординатата е постоянно число [tex]a^2[/tex].
Трябва да се сведе до разделящи се променливи.
За съжаление, единствената литература, която имам е на руски и нищо не разбирам.

Стигам до
[tex]y(0)x_0 = a^2\\y(x_0)=0[/tex]
Но това не е нищо.

Търсените криви са семейство хиперболи:

[tex]S=\frac{x.y}{2}=a^2[/tex],

[tex]\frac{y}{x}=tg[\alpha]=y'=\frac{dy}{dx }[/tex] - да трябва да поискаме кривата да е допирателна в текущата точка към хипотенузата на разглеждания триъгълник.

[tex]y=x\frac{dy}{dx}[/tex]

[tex]S=\frac{x.x}{2}\frac{dy}{dx}=a^2[/tex]
[tex]x^2\frac{dy}{dx} =2 a^2[/tex]
[tex]dy=\frac{2.a^2}{x^2}dx[/tex]
[tex]y=\pm \frac{2.a^2}{x}[/tex]

[tex]S=\|\frac{x.y}{2}\|=a^2[/tex]

[seppen]

Отговорът е [tex]\frac{(C \pm x)y}{2}=a^2[/tex].
Как реши, че трябва да е допирателна към хипотенузата? А и не разбирам за какъв триъгълник говорим, като графиката не пресича абсцисата?
Ще го напиша на руски: "... треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная a^2."
Къде се намира?

[ptj]

Отговорът е [tex]\frac{(C \pm x)y}{2}=a^2[/tex].
Как реши, че трябва да е допирателна към хипотенузата? А и не разбирам за какъв триъгълник говорим, като графиката не пресича абсцисата?
Ще го напиша на руски: "... треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная a^2."
Къде се намира?

Буквалния превод е:

"... триъгълника, образуван от допирателната, ординатата на точката на допиране и абцисната ос, е постоянна величина равна на [tex]a^2[/tex]"

П.П. Казано е достатъчно добре и e точно написаното от Flame.

[seppen]

Значи Flame е оцелил условието.
Във вида, в който грешно го бях превела, задачата решима ли е?

[ptj]

Както го бе написала, не бе определен триъгълника.

Това е известна задача от Аналитичната Геометрия и вероятно затова Flame ти написа веднага правилното условие и решение.

[Flame]

Нека решим отново тази задача вече при изяснено условие.

Да се намери крива във вид y=f(x), при условие, че лицето на триъгълника определен от ординатата и допирателната на произволна точка от кривата и абсцисната ос е постоянна величина [tex]a^2[/tex].

Търсим решение в първи квадрант.
Нека триъгълникът има катети [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex].
[tex]S=\frac{m.n}{2}=a^2[/tex]

Единият катет още от условието е [tex]m=y[/tex].
За [tex]n[/tex] правим следното.
Допирелната до кривата е:
[tex]Y-y=y'(X-x)[/tex]
Нека пресечната точка на допирателната и абсцисата е [tex]K[/tex].
Намираме пресечната точка на тази права с абсцисата. Това всъщност е [tex]Y_k=0[/tex].
[tex]0-y=y'(X_k-x) \Leftrightarrow x_k=\frac{-y+x y'}{y' }[/tex]

Катета лежащ на абсцисата има дължина [tex]n=X_k-x[/tex], дължината на отреза на правата минус текущата стойност по x.
[tex]n=\frac{-y+x y'}{y' }-x=\frac{-y+xy'-xy'}{y' }=\frac{-y}{y' }[/tex]
[tex]n=\frac{-y}{y' }[/tex]

Лицето на триъгълникът е:

[tex]S=\frac{m.n}{2}=a^2[/tex]

[tex]S=\frac{-y}{y' }.y=2.a^2[/tex]

[tex]\frac{-y^2}{y' }=2.a^2 \Leftrightarrow dx=-2.a^2\frac{dy}{y^2 }[/tex] интегрираме

[tex]\int dx=-2.a^2\int\frac{1}{y^2 }dy[/tex]

[tex]C+x=-2.a^2(-\frac{1}{y})\Leftrightarrow C+x=2.a^2\frac{1}{y}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{(C+x).y}{2} =a^2[/tex]

Ако бяхме тръгнали с друго построение на триъгълниkа, да кажем във 2-ри квадрант отговорът щеше да е:

[tex]\frac{(C-x).y}{2} =a^2[/tex]

Окончателно решението е:

[tex]\frac{(C\pm x).y}{2} =a^2[/tex]

ПП.
Да намирането на крива линия в равнината води до диференциално уравнение от първи ред. Очевидно сте почнали ДУ.

[seppen]

Сега, с обясненията, ми се поразясниха нещата.

PS. Да, задачата е от един сборник по ДУ.