Съставяне на диференциално уравнение

[Гост]

Да се състави диференциално уравнение, което описва дадената зависимост, и да се намери общото му решение:

а) Частица се движи по права линия, като скоростта й е обратнопропорционална на квадрата на разстоянието S, което е изминала.

б) Едно местообитание на прерийни кучета може да поддържа най-много m кучета. Популацията p в местообитанието расте със скорост, пропорционална на произведението от числеността на популацията в даден момент и разликата между m и p в този момент.

в) Интравенозна система инжектира медикамент в кръвотока на пациент със скорост 3 cm^3/ч. Едновременно с това, във всеки един момент органите на пациента изчистват медикамента от кръвотока на пациента със скорост, която е правопропорционална на обема V на медикамента, намиращ се в кръвотока му в този момент.

[KOPMOPAH]

Желанието ми да помогна е правопропорционално на броя на "вълшебните" думички, с които се формулира въпросът и обратнопропорционално на неговата дължина. Доколкото в случая изцяло липсват както вълшебни думички, така и въобще споменаване на постигнатото в процеса на решаване и срещнатите трудности, публикувам отговора на gemini.

Добре, нека съставим диференциалното уравнение и намерим общото му решение.

## Диференциално Уравнение и Общо Решение

### 1. Съставяне на Диференциалното Уравнение

Дадената зависимост е: **скоростта** на частицата е **обратнопропорционална** на **квадрата на изминатото разстояние $S$**.

* **Скоростта** ($v$) е първата производна на разстоянието спрямо времето ($t$):
$$v = \frac{dS}{dt}$$
* **Обратнопропорционалността** означава, че имаме константа на пропорционалност ($k$) в числителя, а дадената величина е в знаменателя. Тъй като скоростта трябва да е положителна, а $S \geq 0$, нека $k$ е положителна константа ($k > 0$).

Зависимостта се записва като:
$$v = \frac{k}{S^2}$$

Замествайки израза за скоростта, получаваме диференциалното уравнение:
$$\frac{dS}{dt} = \frac{k}{S^2}$$

### 2. Намиране на Общото Решение

Уравнението $\frac{dS}{dt} = \frac{k}{S^2}$ е **диференциално уравнение с разделящи се променливи**.

* **Разделяне на променливите $S$ и $t$**:
$$S^2 \, dS = k \, dt$$

* **Интегриране на двете страни**:
$$\int S^2 \, dS = \int k \, dt$$

* **Извършване на интегрирането**:
$$\frac{S^3}{3} = k t + C$$
където $C$ е **произволна константа на интегриране**.

* **Изразяване на $S$ като функция на $t$**:
$$S^3 = 3(k t + C)$$
$$S^3 = 3k t + 3C$$

Тъй като $3k$ е константа, нека я означим с нова константа $K_1 = 3k$.
Тъй като $3C$ е константа, нека я означим с нова константа $K_2 = 3C$ (или просто $C$ за по-голяма краткост).
В крайна сметка, общото решение е:
$$S^3 = K_1 t + K_2$$

или по-общо, с константа $C$:

$$\mathbf{S = \sqrt[3]{3kt + C}}$$
където $k$ е константата на пропорционалност, а $C$ е произволна константа, която се определя от начални условия.

За другите задачи също може да се приложи подобен подход.