Вълново уравнение

[pipi langstrump]

Имам една неяснота относно Вълновото уравнение с една пространствена променлива и по точно със смесената задача:

[tex]u''_{tt} = a^2u''_{xx}[/tex]
с гранични условия:
[tex]u'_{x}(0,t) = u'_{x}(l,t) = 0[/tex]
и начални условия:
[tex]u(x,0) = f(x)[/tex]
[tex]u'_{t}(x,0) = \varphi (x)[/tex]

Проблемът е, че когато решавам задачата на Щурм-Лиувил получавам нетривиално решение и за собствената стойност [tex]\lambda = 0[/tex], а именно [tex]u_0(x,t) = C(c_1t + c_2)[/tex].
Дотук добре. Обаче в убечника, който гледам пише, че константата [tex]c_1[/tex] трябва да се положи на нула, за да се удовлетворяват началните условия, само че аз не го получавам така, защото като се състави реда и се въведат началните условия се получава

[tex]\varphi (x) = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{n\pi a }{l}b_n cos{\frac{n\pi x}{l}}[/tex]

което не е развитие на [tex]\varphi (x)[/tex] по косинуси, защото липсва свободния член [tex]\frac{a_0}{2}[/tex]. А както си го решавам аз си се получава [tex]\frac{a_0}{2} = Cc_1[/tex] и нещата са напълно редовни. Къде е грешката?!