Малко насоки/помощ при решаването на две уравнения

[fusmu]

Здравейте,
В момента се мъча да решавам едни уравнения от сборник и нама да ви лъжа - грам не ми се отдава.
Ето го едното уравнение
[tex]y''' - 4y'' +5y'=xe^x[/tex]

Ето и какво съм направил по характеристичното уравнение
[tex]r^3-4r^2+5r=0[/tex]
[tex]r(r^2-4r+5)=0[/tex]
[tex]r_1=0[/tex]
[tex]r_2=2+i[/tex]
[tex]r_3=2-i[/tex]
Ето и за специалната дясна част:
[tex]n'=ae^x+(ax+b)e^x[/tex]
[tex]n''=2ae^x+(ax+b)e^x[/tex]
[tex]n'''=3ae^x+(ax+b)e^x[/tex]
[tex]3ae^x+(ax+b)e^x -4[2ae^x+(ax+b)e^x] +5[ae^x+(ax+b)e^x][/tex]
[tex]2(ax+b)=x[/tex] => и тук по решението в сборникът за а и b са намерени, но не знам как
[tex]a=\frac{1}2[/tex] b=0
След което в общото решение което е дадено
[tex]y(x)=C_1 + C_2 e^{2x}cosx + C_3 e^{2x}sinx+\frac{1}2xe^x[/tex]
този косинус и този синус от къде се появяват?

Задача 2:
[tex]y'''+y''=2xe^{2x}[/tex]
[tex]r^2(r-2)=0[/tex]
[tex]r_1=r_2=0 ; r_3=2[/tex]
[tex]y(x)=C_1^e^0+C_2^e^0+C_3^e^2[/tex]
Обаче за специалната част нещо не мога да го "осмисля" как да я получа
[tex]n'=2ae^{2x}+(ax+b)e^{2x}[/tex]
[tex]n''=4ae^{2x}+(ax+b)e^{2x}[/tex]
[tex]n'''=6ae^{2x}+(ax+b)e^{2x}[/tex]

Мерси предварително за отделеното време.

[stflyfisher]

Здравейте,
В момента се мъча да решавам едни уравнения от сборник и нама да ви лъжа - грам не ми се отдава.
Ето го едното уравнение
[tex]y''' - 4y'' +5y'=xe^x[/tex]

Ето и какво съм направил по характеристичното уравнение
[tex]r^3-4r^2+5r=0[/tex]
[tex]r(r^2-4r+5)=0[/tex]
[tex]r_1=0[/tex]
[tex]r_2=2+i[/tex]
[tex]r_3=2-i[/tex]

След което в общото решение което е дадено
[tex]y(x)=C_1 + C_2 e^{2x}cosx + C_3 e^{2x}sinx+\frac{1}2xe^x[/tex]
този косинус и този синус от къде се появяват?

Намери отговорите на следните въпроси:

1. Как се решава ЛНХДУ от n-ред?(виждам, че знаеш отговора на този въпрос)
2. Как се решава ЛХДУ от n-ред?(виждам, че знаеш отговора на този въпрос)
а) кои са частните решение ЛХДУ при два комплексно спрегнати корена от кратност първа?

забележка: при неяснота питай

Ето и за специалната дясна част:
[tex]n'=ae^x+(ax+b)e^x[/tex]
[tex]n''=2ae^x+(ax+b)e^x[/tex]
[tex]n'''=3ae^x+(ax+b)e^x[/tex]
[tex]3ae^x+(ax+b)e^x -4[2ae^x+(ax+b)e^x] +5[ae^x+(ax+b)e^x][/tex]
[tex]2(ax+b)=x[/tex] => и тук по решението в сборникът за а и b са намерени, но не знам как
[tex]a=\frac{1}2[/tex] b=0

[tex]3ae^x+(ax+b)e^x -4[2ae^x+(ax+b)e^x] +5[ae^x+(ax+b)e^x]=x.e^x[/tex]
....
[tex]2(ax+b)=x[/tex]

[tex]2ax+2b=x[/tex]

[tex]2ax+2b=1x[/tex]

[tex]2ax+2b=1.x+0[/tex]

т.е. равенство на полиноми

1. Кога два полинома са равни?

0тг: Когато са равни коефицентите пред еднаквите степени на неизвестното.

[tex]=>\begin{tabular}{|l}2a=1\\b=0 \end{tabular}[/tex]

[stflyfisher]

Задача 2:
[tex]y'''+y''=2xe^{2x}[/tex]
[tex]r^2(r-2)=0[/tex] ???????

Мерси предварително за отделеното време.

[tex]y'''+y''=2xe^{2x}[/tex]

[tex]y'''+y''=0=>[/tex]

[tex]r^3+r^2=0[/tex]

[tex]r^2(r+1)=0[/tex]

[tex]r_1=r_2=0; r_3=-1[/tex]

[tex]y(x)=C_1^e^0+C_2^e^0+C_3^e^2[/tex]

Това въобще не разбирам как се е получило и какво означава?

[tex]r_1=r_2=0-[/tex] двукратен реален корен =>

[tex]r_1=r_2=0=> y_1=(C_1+C_2.x)e^{0x}=(C_1+C_2.x)e^{0}=(C_1+C_2.x).1=C_1+C_2.x[/tex]

[tex]r_3=-1-[/tex] еднократен реален корен=>

[tex]r_3=-1=>y_2=C_3e^{-1x}=C_3e^{-x}[/tex]

Решението на ЛХДУ е:

[tex]y=y_1+y_2=C_1+C_2.x+C_3e^{-x}[/tex]

[stflyfisher]

[tex]y'''+y''=2xe^{2x}[/tex]
...
Обаче за специалната част нещо не мога да го "осмисля" как да я получа
[tex]n'=2ae^{2x}+(ax+b)e^{2x}[/tex]
[tex]n''=4ae^{2x}+(ax+b)e^{2x}[/tex]
[tex]n'''=6ae^{2x}+(ax+b)e^{2x}[/tex]

Мерси предварително за отделеното време.

ЛНХДУ от n-ти ред със специална дясна част. Решението е от вида:

[tex]Y=y+\eta[/tex],

където [tex]y[/tex] е решенеито на съответното ЛХДУ: [tex]y'''+y''=0[/tex],

[tex]\eta[/tex] е едно частно решение на ЛНХДУ, което се намира въз основа на вида на дясната част.

За това урвнение тя е: [tex]F(x)=2xe^{2x}=e^{2x}.2x[/tex]

т.е. е от вида: [tex]F(x)=e^{\lambda.x}.P_m(x)[/tex], където [tex]\lambda=2[/tex], [tex]P_m(x)=2x=2x+0[/tex], [tex]m=1[/tex] e полином от 1-ва степен.

1.)[tex]\lambda=2[/tex]-НЕ е корен на характеристичното уравнение на съответното ЛХДУ: [tex]y'''+y''=0[/tex]

2.) [tex]m=1[/tex]

от 1.) и 2.) => [tex]\eta[/tex] е от вида: [tex]\eta=e^{\lambda.x}.Q_m(x)=e^{2.x}.Q_1(x)[/tex],

където: [tex]Q_1(x)[/tex] е плоном от 1-ва степен => [tex]Q_1(x)=ax+b[/tex]

[tex]=> \eta=e^{2.x}.(ax+b) =>[/tex]

[tex]\eta'=a.e^{2x}+2(ax+b)e^{2x}[/tex]

[tex]\eta''=4a.e^{2x}+4(ax+b)e^{2x}[/tex]

[tex]\eta'''=12a.e^{2x}+8(ax+b)e^{2x}[/tex]

Заметсвайки в уравнението се получава:

[tex]\eta'''+\eta''=2xe^{2x}[/tex]

[tex]12a.e^{2x}+8(ax+b)e^{2x}+4a.e^{2x}+4(ax+b)e^{2x}=2xe^{2x}[/tex]
....

[tex]6ax+8a+6b=x[/tex]

[tex]6ax+8a+6b=1x+0=>[/tex]

[tex]=>\begin{tabular}{|l}6a=1\\8a+6b=0 \end{tabular}=> a=\frac{1}{6}; b=-\frac{2}{9}[/tex]

[tex]=>\eta=e^{2x}(ax+b)=e^{2x}(\frac{1}{6}x-\frac{2}{9})[/tex]

Окончателно:

[tex]Y=C_1+C_2x+C_3e^{-x}+e^{2x}(\frac{1}{6}x-\frac{2}{9})[/tex]