Диференциално уравнение y(xy" + y')=(xy')^2 (1-x)

[marto_6]

мисля че задачата трябва да се реши с понижаване на реда ама незнам как точно трябва да стане за това моля за помощ
y(xy" + y')=(xy')^2 (1-x)
благодаря преджарително ^ този знак горе е на степен 2

[Anubis]

[tex]y(xy''+y')=(xy')^2(1-x)[/tex]

Разделяме двете страни на уравнението с [tex](y')^2 \neq 0[/tex] и полагаме [tex]\frac{y}{y'}=z(x)[/tex]. След диференциране намираме

[tex]\frac{y''}{y'}=\frac{1-z'}{z}[/tex].

Като заместим в изходното уравнение, стигаме до линейното

[tex]z' = \frac{1}{x}.z+1-x(1-x)[/tex] с решение [tex]x(\operatorname{C}+ \ln x - x + \frac{x^2}{2})[/tex].

Остана да се реши уравнението от първи ред [tex]\frac{y}{y'} = x(\operatorname{C}+ \ln x - x +\frac{x^2}{2})[/tex].

[marto_6]

мноо мерси за всичко ама накрая в скобите не трябва ли да има още 1/2 щото аз като го смятам и май трябва да има ама е мноо възможно пак нещо да съм обаркал отново мноо благодаря

[marto_6]

не не аз съм збъркал