ДУ y''-4y'+4y=x^2

[edrenchev]

[tex]y''-4y'+4y=x^2[/tex] откъдето намирам [tex]\lambda =0[/tex] Искам да попитам частното решение това ли е: [tex]n=Ax^2+B[/tex]?

[Anubis]

[tex]y''-4y'+4y=x^2[/tex]

Това е линейно нехомогенно обикновено диференциално уравнение. Неговото общо решение се намира или

чрез квазиполином, или чрез метод на Лагранж за вариране на константите. Общото решение на нехомогенното

уравнение е сума от решението на хомогенното уравнение и от едно частно решение. Понеже подозирам, че с метода

на Лагранж ще се стигне до много противни интеграли, предлагам да действаме с квазиполином.

[tex](*) \quad y^{(n)}(x)+\dots+a_{n}y(x)=e^{\mu x}P(x), \quad P(x)[/tex] е полином от степен [tex]m[/tex]

[tex]e^{\mu x}P(x)[/tex] се нарича квазиполином от степен [tex]m[/tex]. [tex]\mu[/tex] е характеристичен корен от кратност [tex]k[/tex], тогава уравнението

[tex](*)[/tex] има частно решение от вида [tex]y_{0}(x)=x^{k}Q(x)e^{\mu x}[/tex], където и тук степента на полинома [tex]Q(x)[/tex] е равна на [tex]m[/tex].

Преписваме нашето уравнение във вида

[tex]y''-4y'+4y=e^{0.x}.x^2 \Rightarrow \fbox{\mu=0}, \quad \fbox{m=2}[/tex]. Характеристичното уравнение е

[tex]\lambda^2-4\lambda+4=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=2[/tex]. Виждаме, че корените не са равни на показателя [tex]\mu[/tex], тогава [tex]\fbox{k=0}[/tex].

От трите оградени неща получаваме, че частното решение [tex]y_{0}(x)=ax^2+bx+c[/tex] (полином от втора степен). То

трябва да удовлетворява изходното уравнение, т. е. след нужните диференцирания и замествания стигаме до

равенството

[tex]4ax^2+(4b-8a)x+2a-4b+4c=x^2[/tex].

Това е равенство между полиноми. Два полинома са еднакви, ако коефициентите пред съответните степени на [tex]x[/tex] са

равни. Стигнахме до системата

[tex]\begin{array}{||}4a=1 \\ 4b-8a=0 \\ 2a-4b+4c=0\end{array} \Rightarrow a=\frac{1}{4}, \quad b=\frac{1}{2}, \quad c=\frac{3}{8} \Rightarrow \fbox{y_{0}(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}} \quad (1)[/tex].

Решението на хомогенното уравнение е [tex]\fbox{y(x)=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}} \quad (2)[/tex]. Решението на нехомогенното е сумата на

[tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex].

[Гост]

y''-4y'+4y=25cosx , помогнете, моля