Въпрос относно характерситично уравнение

[Mr.G{}{}Fy]

Имам въпрос относно намиране на общия член на :
[tex]a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}+4n+2, a_{0}=1, a_{1}=3[/tex].
Тук има подробно написано как се решава : viewtopic.php?f=71&t=4043 .
Нали обаче мога да направя следното:
решавам [tex]x^2 - 4x + 3 = 0[/tex] и намирам 2 корена - 1 и 3. После [tex]4n + 2 = 4(n+1) - 2 = (-2 + 4(n+1)^1)1^{ n+1}[/tex] - т.е. тук все едно имам двоен корен 1-ца. Т.е. за сега имам корени - 1,1,1,3 и т.е. не трябва ли характеристичното уравнение да е : [tex]a_n = (c1 + c2.n + c3.n^2)1^n + c4.3^n[/tex]. Ако е така обаче, аз имам 4 неизвестни и само 2 реда в системата. Та има ли начин да докарам характеристичното уравнение по този начин или не ?
Благодаря, за отделеното внимание.

[Knowledge Greedy]

За да приложим теорията на линейните рекурентни редици, трябва да приведем уравнението в хомогенен вид. Всякакви самотни константи като двойката накрая и номера [tex]4n[/tex], трябва да се махнат.
Това става с повишаване на реда.
[tex]a_{n+1}=4a_n−3a_{n−1}+4n+2[/tex],
[tex]a_{n+2}=4a_{n+1}−3a_{n}+4(n+1)+2[/tex]

Изваждаме почленно
[tex]a_{n+2}=5a_{n+1}−7a_{n}+3a_{n−1}+4[/tex]

[tex]4n[/tex] изчезна, но се появи константа [tex]4[/tex].
Още веднъж повишаваме реда
[tex]a_{n+2}=5a_{n+1}−7a_{n}+3a_{n−1}+4[/tex]
[tex]a_{n+3}=5a_{n+2}−7a_{n+1}+3a_{n}+4[/tex]

Изваждаме почленно
[tex]a_{n+3}=6a_{n+2}−12a_{n+1}+10a_{n}-3a_{n−1}[/tex]
Полученото уравнение е линейно хомогенно от четвърти ред.

Записваме във вида [tex]a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-10a_{n}+3a_{n−1}=0[/tex]

И едва сега имаме право да напишем характеристичното уравнение.
[tex]t^4-6t^3+12t^2-10t+3=0[/tex]

Това уравнение има един троен корен [tex]t_{1,2,3}=-1[/tex] и корен [tex]t_4=-3[/tex]
Следователно формулата за общия член ще получим от вида
[tex]a_n=(c_1+c_2n+c_3n^2)(-1)^n+c_4(-3)^n[/tex]

Тъй като неизвестните са 4 - това са коефициентите [tex]c_1, c_2, c_3[/tex] и [tex]c_4[/tex], намираме още две стойности на [tex]a_n[/tex] с помощта на първоначално зададеното рекурентно уравнение.
[tex]a_2=15[/tex] и [tex]a_3=61[/tex]
Идеята е като сравняваме двата записа на стойностите на отделните членове, да получим уравнения, които да решим като система.

Системата за коефициентите е
[tex]\begin{array}{|l} (c_1+c_2.0+c_3.0^2)1^0+c_4.3^0=1 \\ (c_1+c_2.1+c_3.1^2)1^1+c_4.3^1=3 \\ (c_1+c_2.2+c_3.2^2).1^2+c_4.3^2=15 \\ (c_1+c_2.3+c_3.3^2)1^3+c_4.3^3=61 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} c_1+c_4=1 \\ c_1+c_2+c_3+3c_4=3 \\ c_1+2c_2+4c_3+9c_4=15 \\ c_1+3c_2+9c_3+27c_4=61 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} c_1=-2 \\ c_2=-3 \\ c_3=-1 \\ c_4=3 \end{array}[/tex]
Следователно формулата за общия член е
[tex]a_n=3^{n+1}-n^2-3n-2[/tex]
_____________
Към въпроса.

Имам въпрос относно намиране на общия член на :[tex]a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}+4n+2, a_{0}=1, a_{1}=3[/tex]...
т.е. не трябва ли характеристичното уравнение да е :
[tex]a_n = (c1 + c2.n + c3.n^2)1^n + c4.3^n[/tex]. Ако е така обаче, аз имам 4 неизвестни и само 2 реда в системата. Та има ли начин да докарам характеристичното уравнение по този начин или не ?
Благодаря, за отделеното внимание.

Да, става.
На практика това е същото като търсенето на частно решение от определен вид на ОДУ (диференциално уравнение). Общото решение ще получим като линейна комбинация от решението на хомогенното уравнение и частното решение.
А липсващите данни за системата ще си направим от началните условия.
__________
Дали правилно съм разбрал въпроса, Mr.G{}{}Fy ?

[Mr.G{}{}Fy]

@Knowledge Greedy, благодаря много, много ми помогна. Даже ми написа и още един начин за решаване. Лошото е, че не знам точно как работят характеристичните уравнения и как се доказва, че съответните алгоритми, които прилагаме за характеристични уравнение са коректни и от там не съм и много наясно кое ми е позволено и кое не. Само да те попитам защо при мен се получават корени {-1, 1, 1, 3}, а при теб {-1, -1, -1, 3}? Явно бъркам някъде, но къде.

[Knowledge Greedy]

Характеристичното уравнение
[tex]t^4−6t^3+12t^2−10t+3=0[/tex]
има корени [tex]t_{1,2,3}=1[/tex] и [tex]t_4=3[/tex]
Получих ги по схемата на Хорнер, но си проверих сметките като цяло поне три пъти.
Видях обаче, че на две места съм написал със знак минус - моя грешка. Всичко е смятано при [tex]t_{1,2,3}=1[/tex] и [tex]t_4=3[/tex]
А в представянето, което си направил на [tex]4n+2[/tex], защо не оставиш [tex]4n+2=(2+4n).1^n[/tex]?
Така получаваме пълно съгласуване и на корените, и на кратността им. От тук има двукратен корен [tex]1[/tex]-ца, а от "хомогенната част" има корени [tex]1[/tex] и [tex]3[/tex] - точно същото качество и количество.
___________
Ще напиша по-късно детайли за това как точно работят характеристичните уравнения. На практика то ще бъде друга гледна точка на топика viewtopic.php?f=71&t=4043 и това, което са написали martin.nikolov и allier .

[Mr.G{}{}Fy]

Супер, много благодаря. Иначе използвам съм (n+1) т.н. това е разписването на (n+1) - вия член и сметнах, че така е коректно. Не трябва ли да е така? Може и да не съм прав. Също така по този метод, по който аз я решавам кога ще излезе, че има корен (-1) ?
Ще се радвам да прочета това, което ще напишете. Още веднъж много благодаря!

[Knowledge Greedy]

Да разгледаме числовата редица [tex]\left \{ a_n \right \}_{n=1}^{\infty}[/tex], зададена с [tex]a_1=-1, \,\ a_2=1[/tex]
и за всяко естествено [tex]n\ge 3[/tex] членовете ѝ се получават по формулата
[tex]a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2} \,\ (\ast)[/tex]
Трябва да намерим общия член на тази редица.

Първо представяне на [tex](\ast)[/tex].
[tex]a_n-2a_{n-1}=3a_{n-1}-6a_{n-2}[/tex]

След изнасяне на множител [tex]3[/tex] вдясно
[tex]a_n-2a_{n-1}=3(a_{n-1}-2a_{n-2})[/tex]
разглеждаме нова редица
[tex]\left \{ b_n \right \}_{n=2}^{\infty}[/tex] - зададена с [tex]b_2=a_2-2a_1=3[/tex]
и за всяко естествено [tex]n\ge 3[/tex] членовете ѝ се получават по формулата [tex]b_n=3b_{n-1}[/tex] - добре познатата ни геометрична прогресия, с частно [tex]3[/tex] и следователно с общ член [tex]b_n=3.3^{n-2}=3^{n-1}[/tex]

Дотук получихме [tex]a_n-2a_{n-1}=3b_{n-1}[/tex]
което записваме като
[tex]a_n-2a_{n-1}=3^{n-1} \,\ \,\ \,\ (1)[/tex]

Второ представяне на [tex](\ast)[/tex].
[tex]a_n-3a_{n-1}=2a_{n-1}-6a_{n-2}[/tex]

След изнасяне на множител [tex]2[/tex] вдясно
[tex]a_n-3a_{n-1}=2(a_{n-1}-3a_{n-2})[/tex]
разглеждаме трета редица
[tex]\left \{ d_n \right \}_{n=2}^{\infty}[/tex] - зададена с [tex]d_2=a_2-3a_1=4[/tex]
и за всяко естествено [tex]n\ge 3[/tex] членовете ѝ се получават по формулата [tex]d_n=2d_{n-1}[/tex] - познатата ни геометрична прогресия, с частно [tex]2[/tex] и следователно с общ член [tex]d_n=4.2^{n-2}=2^{n}[/tex]

Резултатът записваме като
[tex]a_n-3a_{n-1}=2^{n} \,\ \,\ \,\ (2)[/tex]

Решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} (1) \\ (2) \end{array}[/tex]
Изключваме [tex]a_{n-1}[/tex]
Получаваме [tex]a_n=3^n-2^{n+1}[/tex], което е формула на търсения общ член на дадената редица.

Поука. Вместо всеки път да се мъчим, търсейки различни представяния на рекурентната формула, не е ли по-добре да напишем наведнъж крайния резултат? По същество в представянията [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] участват корените [tex]t_1=2[/tex] и [tex]t_2=3[/tex] на уравнението [tex]t^2-5t+6=0[/tex]
Значи винаги при различни корени [tex]t_1[/tex] и [tex]t_2[/tex] на това уравнение (характеристично уравнение) общият член ще се получава от вида [tex]a_n=C_1t_1^n+C_2t_1^n[/tex] - където [tex]C_1[/tex] и [tex]C_2[/tex] са константи, зависещи единствено от началните членове.

[Knowledge Greedy]

Супер, много благодаря. Иначе използвам съм (n+1) т.н. това е разписването на (n+1) - вия член и сметнах, че така е коректно. Не трябва ли да е така? Може и да не съм прав. Също така по този метод, по който аз я решавам кога ще излезе, че има корен (-1) ?
Ще се радвам да прочета това, което ще напишете. Още веднъж много благодаря!

Ако очакваме да има корен [tex](-1)[/tex], то просто трябва да имаме събираемо от вида [tex]C(-1)^n[/tex].
И ето тук - по първата част на въпроса. Множителят [tex]C[/tex] е константа, само когато [tex](-1)[/tex] е еднократен корен.
Когато [tex](-1)[/tex] е двукратен корен този множител е от вида [tex]C=an+b[/tex] - линейна функция на [tex]n[/tex]
Когато [tex](-1)[/tex] е трикратен корен, този множител е от вида [tex]C=an^2+bn+c[/tex] - квадратна функция на [tex]n[/tex] и т.н.
На практика ако очакваме да има корен [tex](-1)[/tex], то просто трябва да имаме събираемо от вида [tex]C(n)(-1)^n[/tex] и според степента на полинома [tex]C(n)[/tex] съдим за кратността на корена (който го следва като множител на степен зависеща от [tex]n[/tex] - в случая навсякъде по-горе си говорим за [tex](-1)[/tex]).

И още нещо. Не се обърквай от степени като примерно [tex]2^{n+3}[/tex] и подобни. Същественото е, че съдържа [tex]2^n[/tex], другите три двойки просто ги пишем като множител [tex]8.2^n[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаряр много за подробните обяснения и за отделеното време.

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаряр много за подробните обяснения и за отделеното време.