Задача от рекурентни уравнения

[martot0]

Имам нужда от помощ относно една задача от дискретна математика. Тя е следната - Решете рекурентното уравнение: Pn = Pn-1 + 2Pn-2 + n при начални условия P0 = 0 и Р1 = 1.
Много ще се радвам някой да помогне, благодаря предварително.

[Гост]

[tex]p_n-p_{n-1}-2p_{n-2}=0[/tex]
има характеристично уравнение с корени [tex](-1)[/tex] и [tex]2[/tex].
Следователно формулата за общия член е
[tex]p_n=c_1(-1)^n+c_2.2^n[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} p_0=c_1(-1)^0+c_2.2^0 \\ p_1=c_1(-1)^1+c_2.2^1 \end{array}[/tex]
От условието за нулевия и първия член имаме
[tex]\begin{array}{|l} c_1(-1)^0+c_2.2^0=0 \\ c_1(-1)^1+c_2.2^1=1 \end{array}[/tex]
Решаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} c_1+c_2=0 \\ -c_1+2c_2=1 \end{array}[/tex]
получаваме
[tex]\begin{array}{|l} c_1=-\frac{1}{3} \\ c_2=\frac{1}{3} \end{array}[/tex]
Оттук общият член
[tex]c_n=-\frac{1}{3}(-1)^n+\frac{1}{3}.2^n[/tex]

[martot0]

Благодаря, но това е решение само за хомогенната част, а даденото уравнение в условието е нехомогенно.

[Гост]

Ако имаш претенции, постави правилно условието.
Това се вижда - това съм решил.

[Гост]

Като се загледа човек, може да види това:
[tex]p_n=p_{n−1}+2p_{n−2}+n[/tex] при начални условия [tex]p_0=0[/tex] и [tex]p_1=1[/tex]
Намираме по горната формула [tex]p_2-1-2.0=2[/tex], т.е. [tex]p_2=3[/tex]
намираме също и [tex]p_3-3-2.1=3[/tex], т.е. [tex]p_3=8 \,\ (\ast)[/tex]
Повишаваме реда, за да стане уравнението хомогенно.
[tex]\begin{array}{|l} p_n−p_{n−1}−2p_{n−2}=n \\ p_{n+1}−p_{n}−2p_{n−1}=n+1 \end{array}[/tex]
Оттук
[tex]p_{n+1}−2p_{n}−p_{n−1}+2p_{n−2}=1[/tex]
Отново повишаваме реда
[tex]\begin{array}{|l} p_{n+1}−2p_{n}−3p_{n−1}+2p_{n−2}=1 \\ p_{n+2}−2p_{n+1}−3p_{n}+2p_{n−1}=1 \end{array}[/tex]
Изваждаме почленно и получаваме хомогенно линейно рекурентно, от четвърти ред
[tex]p_{n+2}−3p_{n+1}−p_{n}+5p_{n−1}-2p_{n−2}=0[/tex]
Корените на характеристичното уравнение
[tex]t^4-3t^3-t^2+5t-2=0[/tex] виждаме оттук

Четирите корена на характеристичното уравнение.png (13.16 KiB) Прегледано 2090 пъти

Изводът: общото уравнение е от вида [tex]p_n=c_1t_1^n+c_2t_2^n+c_3t_3^n+c_4t_4^n[/tex]
За намерим коефициентите [tex]c_i[/tex], решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} p_0=0 \\ p_1=1 \\ p_2=3 \\ p_3=8 \end{array}[/tex]
______________
Доста неприятна работа, ако не е предвидено решаване с техника