Комбинаторна задача 2.

[Гост]

Червената шапчица имала голяма градина. Там имало необятно много плодове - кайсии, праскови, сини сливи и пъпеши. Тя искала да напълни своята кошница, която събирала 25 плода, и да ги занесе на своята баба. Поради по-големия размер, тя можела да вземе не повече от 2 пъпеша. Нейната баба много обичала праскови и затова Червената шапчица решила да вземе поне 10 от тях.
По колко начина тя може да напълни своята кошница?
Баба и знаела, че ще има гост, и затова решила да приготви торта. Тя набрала от гората рорски полодове за украса. Отбрала най-хубавите:
17 капини
-12 малини
-7 горски ягоди
-13 боровинки
Тортата била кръгла и тя решила да ги подреди в кръг отгоре. Бабата била суетна и не искала всички еднакви плодове да са един до друг.
По колко начина бабата може да украси тортата?
Когато отивала към баба си, Червената шапчица срещнала по пътя ловеца, вълка , Снежанка, Хензел и Гретел. Всички били много гладни и я помолили за плодове от кошницата, но тя отказала и обещала , че ще им донесе нещо за хапване по пътя наобратно. Разказала на баба си и решили да приготвят плодово мляко с останалите горски плодове:
-3 капини
-8 малини
-12 горски ягоди
-7 боровинки
Червената шапчица чела много приказки и знаела, че Снежанка била от царски произход и обичала плодовото си мляко само с четен брой плодове, Хензел обичала да има поне 2 малини в плодовото си мляко, а ловецът обичал, ако има капини в млякото, да има и точно толкова горски ягоди.
По колко начина могат да се направят млеката, като във всяко мляко трябва да има поне 1 плод?

[Петър Евгениев]

Червената шапчица имала голяма градина. Там имало необятно много плодове - кайсии, праскови, сини сливи и пъпеши. Тя искала да напълни своята кошница, която събирала 25 плода, и да ги занесе на своята баба. Поради по-големия размер, тя можела да вземе не повече от 2 пъпеша. Нейната баба много обичала праскови и затова Червената шапчица решила да вземе поне 10 от тях.
По колко начина тя може да напълни своята кошница?

Ако $x_1,x_2,x_3,x_4 \in \mathbb{N}$ са съответно броят на: кайсиите, прасковите, сините сливи и пъпешите, то имаме да намерим броят на всички решения $(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{N}^{4},$ на следното уравнение с допълнителни условия
$$
\begin{array}{|l}
25=x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\
x_2 \ge 10 \\
x_4 \leq 2 \\
x_{i} \in \mathbb{N}, i \in \{ 1,\ldots,4\}
\end{array} .
$$
Полагаме $y_{2} : = x_2 - 10 \ge 0, y_{2} \in \mathbb{N}$ и също $x_{4}:=k, 0 \leq k \leq 2 .$
Въпросното става:
$$
\begin{array}{|l}
25=x_1 + (y_2 + 10) + x_3 + k \\
x_4 \leq 2 \\
x_1,y_2,x_3 \in \mathbb{N} \\
0 \leq k \leq 2
\end{array} \Leftrightarrow
\begin{array}{|l}
15-k = x_1 + y_2 + x_3 \\
0 \leq k \leq 3 \\
x_1,y_2,x_3 \in \mathbb{N}
\end{array}.
$$
Идеята е да разбием $15-k$ на толкова единици $\underbrace{1+1+\ldots+1+1}_{15-k}$ и после броят решения е броят начини, по които можем да сложим скоби $\underbrace{(1+1+\ldots)\boxed{+}(1+1\ldots)\boxed{+}(1+1+\ldots+1+1)}_{15-k}$ разделящи тази сума на единици на три части.( За всяка скоба съответства съот. $x_1,y_2,x_3.$)
Всъщност, ако го интерпретираме като една поредица от $(15-k)+2$ кутийки това е броят начини по които можем да сложим плюсчетата оградени по-горе с квадратче. Т.е. броят решения за всяко фиксирано $0\leq k \leq 2$ е ${(15-k)+2 \choose 2}.$
Значи общо решенията за всички случай за $k$ са
$$N=\sum_{k=0}^{2}{(15-k)+2 \choose 2} = {17 \choose 2}+ {16 \choose 2}+ {15 \choose 2} = 136+120+105 = 361$$
начина да се напълни кошницата с допълнителните условия.