Задача по дискретни структури

[Гост]

Здравейте, бихте ли ми помогнали за следната задача: Докажете, че има естествено число, записано само в цифрата 7 в десетичен запис, което се дели на 2021.

[Гост]

За да докажем, че съществува естествено число, записано само с цифрата 7 в десетичен запис, което се дели на 2021, можем да използваме принципа на гълъба.

Помислете за остатъците, когато числата под формата на 7, 77, 777, ..., 777...777 (където има n седмици в последното число) се разделят на 2021. Тъй като има 2021 възможни остатъка (от 0 до 2020) при деление на 2021, но безкрайно много числа под формата на 7, 77, 777, ..., 777...777, по принципа на гълъба, трябва да има две числа в тази последователност, които имат еднакъв остатък, когато разделено на 2021 г.

Да предположим, че двете числа са под формата на 777...777 с n и m седмици, където n > m. Тогава тяхната разлика, която е число под формата на 777...700...0 (с n-m седмици и m нули), се дели на 2021. Можем да запишем това число като 7 * (111...11000 ...0), където има n-m единици и m нули в скобите. Забележете, че числото в скобите също е кратно на 2021, тъй като разликата между две кратни на 2021 също е кратно на 2021.

Следователно намерихме число в десетичен запис, което се записва само с цифрата 7, която се дели на 2021.