Съждения. Задача

[Гост]

Дадено е множество A = {p1, p2, . . . , p12} от съждения.

а) За всяко i ∈ {1, 2, . . . , 12}, съждение pi е:
Точно i елемента на A са лъжа.
Кои съждения от A са лъжа и кои са истина? Обосновете отговорите си колкото
можете по-добре.

б) За всяко i ∈ {1, 2, . . . , 12}, съждение pi е:
Поне i елемента на A са лъжа.
Кои съждения от A са лъжа и кои са истина? Обосновете отговорите си колкото
можете по-добре.

[peyo]

Дадено е множество A = {p1, p2, . . . , p12} от съждения.

а) За всяко i ∈ {1, 2, . . . , 12}, съждение pi е:
Точно i елемента на A са лъжа.
Кои съждения от A са лъжа и кои са истина? Обосновете отговорите си колкото
можете по-добре.

б) За всяко i ∈ {1, 2, . . . , 12}, съждение pi е:
Поне i елемента на A са лъжа.
Кои съждения от A са лъжа и кои са истина? Обосновете отговорите си колкото
можете по-добре.

Колко интересно!

Предполагам съждение и твърдение е едно и също. Това е задача от книгата "Маймунски Номера" сигурно!

а)

1: Точно 1 елемента на A са лъжа.
2: Точно 2 елемента на A са лъжа.
3: Точно 3 елемента на A са лъжа.
...
12: Точно 12 елемента на A са лъжа.

Сега такива self referencing statements могат да бъдат много обърквващи и е много лесно човек да направи грешка. Затова ще накараме компютъра да реши проблема и даже ще ползваме Libre Office Calc, но предполагам, че и с Excel ще е подобно:

kolkosalyzha1.png (14.88 KiB) Прегледано 1378 пъти

Тук веднага виждаме кои съждения от A са лъжа и кои са истина.
Да решим и б)

kolkosaponelyzha2.png (15.64 KiB) Прегледано 1378 пъти

И в двата случая B14 e:
=12-SUM(B2:B13)

Не съм сигурен какво означава да си обоснова отговорите?! Веднага всеки лесно може да провери, че са верни.

(В настройките на LIbre Office Calc, трябваше да кажа, да използва итерации , иначе даваше грешка Err 522, интересно дали ще е подобно за Excel)

[Гост]

Компютърно решение (изчерпващо търсене) върши работа за тази задача, но как ще решите компютърно следните задачи, явяваща се обобщение на дадените ???

Задача 1.
Дадено е цяло число n, n≥1.
Дадено е множество A = {[tex]p_{1}, p_{2}, . . . , p_{2n}[/tex]} от съждения.
За всяко цяло i, 1≤i≤2n, съждение [tex]p_{i}[/tex] е:
[tex]p_{i}[/tex]: Точно i елемента на A са лъжа.
Кои съждения от A са лъжа и кои са истина?
Край на условие на задача 1.

Задача 2.
Дадено е множество A = {[tex]p_{1}, p_{2}, . . . , p_{2n}[/tex]} от съждения.
За всяко цяло i, 1≤i≤2n, съждение [tex]p_{i}[/tex] е:
[tex]p_{i}[/tex]: Поне i елемента на A са лъжа.
Кои съждения от A са лъжа и кои са истина?
Край на условие на задача 2.

Компютърно можете ли да преборите (brute force) всички цели положителни числа?
Според мен може да се мине без компютър. Задачите са елементарни и в тях няма нищо объркващо. След няколкосекунден размисъл стигнах до извода, че и двете задачи имат единствено решение, само една възможност, която не води до противоречие. Решенията са следните. За задача 1, [tex]p_{2n-1}[/tex] е вярно, всички останали твърдения неверни. За задача 2, за всяко i, 1≤i≤n, [tex]p_{i}[/tex] е вярно, за всяко i, n+1≤i≤2n, [tex]p_{i}[/tex] е невярно.

Обосноваването на отговорите оставям за упражнение на читателите.

Това е задача от книгата "Маймунски Номера" сигурно!

Каква е тази книга? Автор, година на издаване, линк към web-страница за книгата?

[peyo]

Това е задача от книгата "Маймунски Номера" сигурно!

Каква е тази книга? Автор, година на издаване, линк към web-страница за книгата?

Ако се интересуваш от такива задачи сигурно вече знаеш за тази книга:

What Is the Name of This Book?: The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles
by Raymond M. Smullyan

https://www.amazon.com/What-Name-This-Book-Recreational/dp/0486481980

Аз я имах на български (интересно където съм я забутал) и я наричам "Маймунски Номера", защото има един раздел с това име, където автора пише, че е мислел да издаде книгата с това заглавие, но е размислил. Аз обаче съм я запомнил така.