Комбинаторни конфигурации без повторения

[MIT]

Изпитва затруднение с 6 задачи ако може подробно решения за по лесно разбиране ще съм благодарен!

1.В турнир по тенис участват 32-състезатели. По колко начина те могат да си разпределят призовите 6 места и съответния им награден фонд?

2. Колко са възможните пароли от 8 знака без повторения над азбуката, образувана от главните и малките букви на латиницата и цифрите?

3. Колко е броят на всички естествени числа в десетична бройна система които съдържат различни цифри в записите си?

4. По колко начина могат да бъдат избрани 4 различни цели числа от интервала [ 1, 60 ] така, че сумата им да бъде нечетна?

5. Колко е броят на всички к-значни числа, цифрите на които са разположени в строг нарастващ ред, ако числата са записани в 16-ична бройна система

6. Колко е максималният брой еднакви шахматни топове, които могат да се разположат върху шахматна дъска с размер n, така че да няма два топа на един и същ ред или стълб? А по колко начина тези топове могат да се разположат върху дъската, ако няма два топа на един и същ ред или стълб?

[peyo]

1.В турнир по тенис участват 32-състезатели. По колко начина те могат да си разпределят призовите 6 места и съответния им награден фонд?

За първото място имаме 32 възможности. За второто след това имаме 32*31, (защото вече взехме един състезател и го сложихме на 1-вото място). И така нататък до 6-тото 32*31*30*29*28*27*26 = 16963914240

2. Колко са възможните пароли от 8 знака без повторения над азбуката, образувана от главните и малките букви на латиницата и цифрите?

26 букви по 2 = 52 плус цуфрите 52+10 = 62

За първия знак на паролата имаме 62 възможности, за втория 61( защото везехме идн и без повторения) и така нататък до осмия: 62*61*60*59*58*57*56*55=136325893334400

3. Колко е броят на всички естествени числа в десетична бройна система които съдържат различни цифри в записите си?

Такива могат да бъдат най-много от 10 цифри и всички по малкоцифрени. Значи:
10! + 10!/2 + 10!/3! + 10!/4! + ... + 10!/9!

4. По колко начина могат да бъдат избрани 4 различни цели числа от интервала [ 1, 60 ] така, че сумата им да бъде нечетна?

За нечетна сума числата трябва да бъдат едно от вида:
Ч+Ч+Ч+Н
Ч+Н+Н+Н

Нечетните числа от 1 до 60 са 1,3,5,7,9,11,13,...59 или 30, толкова са и четните.

Тогава за случай 1 имаме: 30*29*28*30, за 2: 30*30*29*28 и общо
30*29*28*30 + 30*30*29*28 = 1461600

[peyo]

5. Колко е броят на всички к-значни числа, цифрите на които са разположени в строг нарастващ ред, ако числата са записани в 16-ична бройна система

Ако к е по-голямо от 16 то няма да има такова число, дори за к=16 първата цифра трябва да 0 и тогава числото ще е 15 цифрено (това нядавам се да означава "значно"). ((явно няма да можем да ползваме нулата))

Тогава за к>15 има 0 броя.
За к=15 има 1 число 123456789ABCDEF
За к=14 има
23456789ABCDEF
13456789ABCDEF
12356789ABCDEF
12346789ABCDEF
12345789ABCDEF
12345689ABCDEF
12345679ABCDEF
12345678ABCDEF
123456789BCDEF
123456789ACDEF
123456789ABDEF
123456789ABCEF
123456789ABCEF
123456789ABCDF
123456789ABCDE
15 числа, които образувахме като махнахме 1 цифра от случая к=15.

За к=13 трябва да махнем 2 числа от 15-те. което можем да направим по 15*14/2 начина
За к=12 трябва да махнем 3 числа от 15-те. което можем да направим по 15*14*13/(3*2) начина
За к=11 трябва да махнем 4 числа от 15-те. което можем да направим по 15*14*13*12/(4*3*2) начина

И сега е момента да забележим някаква закономерност и да извадим обща формула:

$B = \frac{15!/k!}{(15-k)!} = \frac{15!}{k!(15-k)!} $