задачи за домашно

[Гост]

1зад В едно село има 20 деца.Всеки две деца от селото имат общ дядо, а всяко дете има двама дядовци.
Да се докаже,че съществува дядо, който има поне 14 внуци в това село.

2зад Равностранен триъгълник със страна n е разбит на равностранни триъгълници със страна 1 црез прави,
успоредни на страните му.Да се намери броят на равностранните триъгълници, чиито страни лежат върху
отсечките на получения чертеж и имат произволни дължини от 1 до n включително, а пък върхът срещу
водоравната страна се намира над нея/ т.е. търсим броя на триъгълниците, сочещи нагоре/.
Упътване: Използвайте сумиране или биекция.

[peyo]

1зад В едно село има 20 деца.Всеки две деца от селото имат общ дядо, а всяко дете има двама дядовци.
Да се докаже,че съществува дядо, който има поне 14 внуци в това село.

Много интересна задача!

Да вземем дете номер C1. То ще направи точно 19 двойки с децата от номер C2 до номер C20. Дете 1 може да има само 2 дядовци. те ще са дядо номер D1 и дядо номер D2. Тези дядовци за да не надхвърлят 13 ще имат между 13 и 19-13 = 6 внуци.
Това са всички възможности:
C1 => [D1(6),D2(13)], [D1(7),D2(12)], [D1(8),D2(11)], [D1(9),D2(10)]

Да вземем след това дете номер 2. То ще направи точно 18 нови двойки с децата от номер 3 до номер 20. Дете 2 може да има само 2 дядовци. Те ще са дядо номер 1 и дядо номер 3 или дядо номер 2 и дядо номер 3. Тези дядовци за да не надхвърлят 13 ще имат между 13 и 18-13 = 7 внуци.
Това са всички възможности:
C2 => D1(6) -> [(D1(11),D3(13)], [D1(12),D3(12)]
C2 => D1(7) -> [D1(12),D3(13)]
C2 => D1(8) -> [D1(13),D3(13)]
C2 => D1(9) -> X

Да вземем след това дете номер 3. То ще направи точно 17 нови двойки с децата от номер 4 до номер 20. Дете 3 може да има само 2 дядовци. Те ще са дядо номер 1 и дядо номер 4 или дядо номер 2 и дядо номер 4 или дядо номер 3 и дядо номер 4. Тези дядовци вече надхвърлят 13 защото дядото който има най-малко внуци е D(11), a новия дядо D4 може да вземе 13 внуци, остават 17-13=4 внуци висящи, но дядо D(11), може да вземе най-много 2-ма внуци и останалите 2 ще направят дядовците с 14 или 15 внуци. С което докахме, че съществува дядо, който има поне 14 внуци в това село.

[peyo]

2зад Равностранен триъгълник със страна n е разбит на равностранни триъгълници със страна 1 црез прави,
успоредни на страните му.Да се намери броят на равностранните триъгълници, чиито страни лежат върху
отсечките на получения чертеж и имат произволни дължини от 1 до n включително, а пък върхът срещу
водоравната страна се намира над нея/ т.е. търсим броя на триъгълниците, сочещи нагоре/.
Упътване: Използвайте сумиране или биекция.

Не знам какво е биекция, да видим дали ще решим задачата без това.

Чертежа изглежда нешо такова:

geogebra-export(26).png (1.14 MiB) Прегледано 1100 пъти

За броенето на триъгълниците ще използваме следната логика. Наи-високата точка е B на третия етаж. Един триъгълник с нея е от 3-тия до 2-рия етаж. Друг от 3-тия до 1-вия етаж и трети от 3-тия до 0-левия етаж. Тоест на който етаж е точката толкова триъгълника може да обазуваме където тя е на върха. На долния етаж има 1 точкa повече и така формулата става:

T = 1*n (етаж n) + 2*(n-1) (етаж n-1) + 3*(n-2) (етаж n-2) + ... + n*1 (етаж 1)

Или:

[tex]T = \sum_{k=1}^{n } k(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n } kn- \sum_{k=1}^{n } k^2+ \sum_{k=1}^{n }k[/tex]

[tex]T = (n+1)\sum_{k=1}^{n } k- \sum_{k=1}^{n } k^2[/tex]

И това са известни формули, които се свеждат до:

[tex]T = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Да направим проверка:

In [8]: T = (n+1)*n*(n+1)/2 - n*(n+1)*(2*n+1)/6

In [9]: T.subs(n,3)
Out[9]: 10

Looks good!

In [10]: T.subs(n,2)
Out[10]: 4

In [11]: T.subs(n,4)
Out[11]: 20