Начини да бъдат избрани 5 различни цели числа от интервал

[Гост]

Зад. 1 По колко начина могат да бъдат избрани 5 различни цели числа от интервала [1,40] така че сумата им да бъде четна?
Зад. 2 Колко е броят на всички двоични вектори с дължина 16? Колко от тях съдържат:
а) поне 8 единици
б) не повече от 4 единици
в)четен брой нули

[peyo]

Зад. 1 По колко начина могат да бъдат избрани 5 различни цели числа от интервала [1,40] така че сумата им да бъде четна?

Четна сума от 5 числа имаме ако:
5 четни
3 четни 2 нечетни
1 четно 4 нечетни

5 четни. От [1,40] са от (2,4,6,8,...38,40) или избираме 5 от 20 числа. Това е 20*19*18*17*16 = 1860480. И сега не е казано дали подредбата на тези числа има значение. Да предположим, че няма (защото за сума реда не е важен), тогава 1860480/5! = 1860480/(5*4*3*2*1) = 15504.

3 четни 2 нечетни. 3 четни от 20 като реда не е важен са 20*19*18/(3*2*1) = 1140. 2 нечетни също от 20 са 20*19/(2*1) = 190. Общо 1140*190= 216600.

1 четно 4 нечетни. 1 четно по 20 начина, 4 нечетни по 20*18*18*17/(4*3*2*1) = 4590 или общо 20*4590= 91800.

Събираме сега: 15504 + 216600 + 91800= 323904

Тази задача е по-проста когато ряда няма значение, ако имаше значение щеше да е по-объркващо.

[peyo]

Зад. 2 Колко е броят на всички двоични вектори с дължина 16? Колко от тях съдържат:
а) поне 8 единици
б) не повече от 4 единици
в)четен брой нули

$2^{16}=65536$ двоични вектори с дължина 16

вектори с 1 единица 16
вектори с 2 единици 16*15/2
вектори с 3 единици 16*15*14/(3*2*1)
вектори с n единици [tex]\frac{16!}{(16-n)!n!} = {16 \choose n}[/tex]

[tex]a) = \sum_{n=8}^{16 }{16 \choose n}[/tex]

In [201]: from scipy.special import binom

In [202]: sum( binom(16,n) for n in range(8, 17) )
Out[202]: 39203.0

б) и в) друг път

[Genie_Almo]

Зад. 2 Колко е броят на всички двоични вектори с дължина 16? Колко от тях съдържат:
а) поне 8 единици
б) не повече от 4 единици
в)четен брой нули

$2^{16}=65536$ двоични вектори с дължина 16

вектори с 1 единица 16
вектори с 2 единици 16*15/2
вектори с 3 единици 16*15*14/(3*2*1)
вектори с n единици [tex]\frac{16!}{(16-n)!n!} = {16 \choose n}[/tex]

[tex]a) = \sum_{n=8}^{16 }{16 \choose n}[/tex]


In [201]: from scipy.special import binom

In [202]: sum( binom(16,n) for n in range(8, 17) )
Out[202]: 39203.0

б) и в) друг път

Peyo, само се чудя... за да подсигуриш дължината на вектора, дали не трябва да фиксираш първата цифра?

[peyo]

quote="Гост"
Зад. 2 Колко е броят на всички двоични вектори с дължина 16? Колко от тях съдържат:
а) поне 8 единици
б) не повече от 4 единици
в)четен брой нули/quote

$2^{16}=65536$ двоични вектори с дължина 16

вектори с 1 единица 16
вектори с 2 единици 16*15/2
вектори с 3 единици 16*15*14/(3*2*1)
вектори с n единици [tex]\frac{16!}{(16-n)!n!} = {16 \choose n}[/tex]

[tex]a) = \sum_{n=8}^{16 }{16 \choose n}[/tex]


In [201]: from scipy.special import binom

In [202]: sum( binom(16,n) for n in range(8, 17) )
Out[202]: 39203.0

б) и в) друг път

Peyo, само се чудя... за да подсигуриш дължината на вектора, дали не трябва да фиксираш първата цифра?

Не разбрах. Защо да подсигурявам дължина на вектор, къде? Каква първа цифра? Да не би да имам грешен отговор?

Да видим и следващите:

б) не повече от 4 единици

Това, са от 0 до 4 единици:
In [206]: sum( binom(16,n) for n in range(0,5) )
Out[206]: 2517.0

в)четен брой нули

Това са 0,2,...,16 нули, но ние имам формула за единици, не за нули значи:
0,2,...,16 нули => 16, 14, ..., 0 единици

In [208]: sum( binom(16,n) for n in range(0,17,2) )
Out[208]: 32768.0