Домашна работа

[Гост]

Хвърлят се 10 еднакви зара - стандартни, с формата на куб. Колко различни резултата могат да се регистрират?

[peyo]

Хвърлят се 10 еднакви зара - стандартни, с формата на куб. Колко различни резултата могат да се регистрират?

След като не е казано в задачата, ще предположим, че подредбата на заровете е важна. Тогава имаме $6^{10}=60466176$ резултата.

[grav]

Хвърлят се 10 еднакви зара - стандартни, с формата на куб. Колко различни резултата могат да се регистрират?

След като не е казано в задачата, ще предположим, че подредбата на заровете е важна. Тогава имаме $6^{10}=60466176$ резултата.

Но е казано че са еднакви. За два еднакви зара, (5,6) и (6,5) са неразличим резултат. А ти ги броиш за два.

[peyo]

След като не е казано в задачата, ще предположим, че подредбата на заровете е важна. Тогава имаме $6^{10}=60466176$ резултата.

Но е казано че са еднакви. За два еднакви зара, (5,6) и (6,5) са неразличим резултат. А ти ги броиш за два.

Подредбата е важна. $(5,6) \ne (6,5)$

[grav]

Подредбата е важна. $(5,6) \ne (6,5)$

Защо? Нали заровете са еднакви. Как ги различаваш тези две хвърляния?

[peyo]

Подредбата е важна. $(5,6) \ne (6,5)$

Защо? Нали заровете са еднакви. Как ги различаваш тези две хвърляния?

По същия начин както различавам 12 от 21. 1 и 1 са еднакви и 2 и 2 са еднакви, но 12 и 21 са различни когато не са в Рим. Съгласен съм обаче, че аз реших най-лесния случай за тази задача. Но защо да решавам по-трудния случай ако не е важно?!

[grav]

По същия начин както различавам 12 от 21. 1 и 1 са еднакви и 2 и 2 са еднакви, но 12 и 21 са различни когато не са в Рим. Съгласен съм обаче, че аз реших най-лесния случай за тази задача. Но защо да решавам по-трудния случай ако не е важно?!

Тогава, реши задачата за един зар. Защо я решаваш за десет?

[KOPMOPAH]

Така формулирана задачата предполага отговор $51$, колкото са възможните суми върху заровете, започвайки от десет единици и свършвайки с десет шестици. Разположението на заровете върху повърхността, на която се хвърлят, е без значение. Не виждам какво друго може да се подразбира като "резултат", освен сума.

[peyo]

Така формулирана задачата предполага отговор $51$, колкото са възможните суми върху заровете, започвайки от десет единици и свършвайки с десет шестици. Разположението на заровете върху повърхността, на която се хвърлят, е без значение. Не виждам какво друго може да се подразбира като "резултат", освен сума.

Това пък на мен дори и не ми хрумна, че може би се търси. Аз си мислех, че се иска да се реши по-сложната задача за броя на уникалните разпределения.

[pipi langstrump]

При заровете наредбата е без значение и в задачата никъде не се споменава за някаква сума, значи търсим всички възможни резултати от хвърлянето им. Да проверим първо с 2 зарчета колко са. Ако едното го фиксираме, например на 1, за другото ще има 6 варианта 11, 12, 13, 14, 15, 16. Сега взимаме първото да е 2 и ни остават 6-1 = 5 изхода 22, 23, 24, 25, 26, защото 21 се повтаря с 12. Така пълния брой резултати е 6+ 5+...+1 = 6(6+1)/2 = 21. Слагаме трето зарче на 1 и за другите две има 21 резултата. Слагаме го на 2 и за да няма повторение с предишните, и другите две зарчета трябва да почнат от 2 и така за трето зарче на 2 имаме 5(5+1)/2 резултата. Така всички възможни резултати са 6(6+1)/2 + 5(5+1)/2 +...+ 1(1+1)/2 = f(6). За 4 зарчета ще имаме f(6) + f(5) +...+ f(1) = g(6) и така индуктивно можем са стигнем до 10.

[pipi langstrump]

В крайна сметка по индукция се получи много хубавата формула [tex]\frac{n(n+1)(n+2)...(n+9)}{10!}[/tex], (n=6), която със сигурност има и много по-дълбоко и елегантно извеждане и смисъл, но от мен толкова.

[peyo]

В крайна сметка по индукция се получи много хубавата формула [tex]\frac{n(n+1)(n+2)...(n+9)}{10!}[/tex], (n=6), която със сигурност има и много по-дълбоко и елегантно извеждане и смисъл, но от мен толкова.

След като мислих повече и проверих че резултата е верен, намерих следното по-елегантно извеждане (защото това итеративното сигурно никой не го разбра).

Ще представим резултата от 10-те зара като сложим 10 монети на 6 места. Например 2 монети на място 3 значи че два пъти се е паднала 3-ка.

В началото имаме 10 монети номерирани от 1 до 10. Имаме и 6 позиции на които можем да слагаме монетите една върху друга.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

_ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6

Първата монета можем да сложим на 6 места:

1
_ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6

Втората можем да сложим на 7 (защото освен 5-те свободно плюс под и над 1)

2
1
_ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6

или

1
2
_ _ _ _ _ _
1 2 3 4 5 6

3-тата на 8 места, стават 6*7*8
4-тата на 9 места, стават 6*7*8*9
...
10-тата на 15 места , стават 6*7*8*9*10*11*12*13*14*15

И сега реда на 10-те монети не ни интересува, затова делим на 10!

Последно

[tex]\frac{15!}{5! 10!} = формулата\ на\ pipi\ langstrump[/tex]

[pipi langstrump]

Като се поразтърсих малко, видях, че това всъщност е формулата за комбинации с повторения. Дефиницията е : "Комбинации с повторения от n елемента к-ти клас наричаме ненаредени к-орки от не непременно различни елементи от първоначално фиксирани n." И формулата, по която се изчисляват е [tex]\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}[/tex]