Нютонов бином - номер на член на разлагане

[Гост]

Здравейте,
от много време ви се възхищавам. Сега се нуждая от хелп за една задача.
Намерете номера на члена от разлагането (x+x^(-2) )^12, несъдържащо x.

zadacha.jpg (4.06 KiB) Прегледано 591 пъти

[KOPMOPAH]

$(x+x^{-2}) ^{12} =\left(\frac{(x^3+1)}{x^2}\right) ^{12}=\frac{x^{36}+C_{12}^1x^{33}+C_{12}^2x^{30}+C_{12}^3x^{27}+\cdots+C_{12}^{11}x+1} {x^{24}} $

Степенните показатели в числителя образуват намаляваща аритметична прогресия с първи член $36$ и разлика $3$.

[Гост]

разликата d не е ли -3 ?
отговорът 13 ли е ?

[KOPMOPAH]

Разликата, разбира се, че е $-3$, тогава няма нужда от уточнението НАМАЛЯВАЩА.

Но членът не е $13$...

[ammornil]

Насока: Пита се кой член в числителя има хикс на същата степен като хикса в знаменател, защото тогава ще се съкратят и няма да има хиксове е едночлена.$$ (x+x^{-2}) ^{12} =\left(\frac{x^3+1}{x^2}\right) ^{12}=\frac{x^{36}}{x^{24}}+ \frac{C_{12}^{1}\cdot{}x^{33}}{x^{24}}+\frac{C_{12}^{2}\cdot{}x^{30}}{x^{24}}+\cdots +\frac{C_{12}^{10}\cdot{}x^{6}}{x^{24}}+\frac{C_{12}^{11}\cdot{}x^{3}}{x^{24}}+\frac{1}{x^{24}}$$

Скрит текст: покажи

36+(n-1)(-3)=24

[pipi langstrump]

$(x+ x^{-2})^{12} = \sum_{k=1}^{12} {a \choose b} x^kx^{-2(12-k)}$

Задачата е за кое k е изпълнено k - 2(12-k) =0?
k= 8

[ammornil]

Според мен, зависи от посокат на равитието [tex]k=4[/tex] или [tex]k=8[/tex], това са пети или девети член респективно.

$(x+ x^{-2})^{12} = \sum_{k=1}^{12} {a \choose b} x^kx^{-2(12-k)}$

В това разлагане се губи един едночлен- бином от 12 степен има тринадесет ендночлена. Според мен рябва да бъде [tex]\sum_{k=0}^{12} {12 \choose k} x^kx^{-2(12-k)}[/tex] или [tex]\sum_{k=0}^{12} {12 \choose k} x^{(12-k)}x^{-2k}[/tex]

[Гост]

Binomnite koeficienti na pipi I ammornil Sa greshni

[pipi langstrump]

Според мен, зависи от посокат на равитието [tex]k=4[/tex] или [tex]k=8[/tex], това са пети или девети член респективно.

$(x+ x^{-2})^{12} = \sum_{k=1}^{12} {a \choose b} x^kx^{-2(12-k)}$

В това разлагане се губи един едночлен- бином от 12 степен има тринадесет ендночлена. Според мен рябва да бъде [tex]\sum_{k=0}^{12} {12 \choose k} x^kx^{-2(12-k)}[/tex] или [tex]\sum_{k=0}^{12} {12 \choose k} x^{(12-k)}x^{-2k}[/tex]

Да, моя грешка, сумата почва от k=0.
Посоката на развитието би трябвало да се определя от наредбата на a и b в степента $(a+b)^n$ според мен, така че няма двузначност.

Binomnite koeficienti na pipi I ammornil Sa greshni

Те не играят роля в задачата, така че не е важно дали са верни.

[KOPMOPAH]

Самата задача е странно формулирана. Ако се питаше за коефициента, то тогава е недвусмислено колко е.

[ammornil]

Binomnite koeficienti na pipi I ammornil Sa greshni

Това са биномните коефициенти. Не знам защо твърдите обратното.
[tex]C^{k}_{n}= {n \choose k} =C^{n-k}_{n}= {n \choose n-k} = \frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}\\ \quad \\ \begin{array}{rclr} & \rightarrow & {12 \choose 0} = {12 \choose 12} = \frac{12!}{0!\cdot{}12!}=&1 \\ \quad \\ & \rightarrow & {12 \choose 1} = {12 \choose 11} = \frac{12!}{1!\cdot{}11!}=&12 \\ \quad \\ & \rightarrow & {12 \choose 2} = {12 \choose 10} = \frac{12!}{2!\cdot{}10!}=&66 \\ \quad \\ & \rightarrow & {12 \choose 3} = {12 \choose 9} = \frac{12!}{3!\cdot{}9!}=&220 \\ \quad \\ & \rightarrow & {12 \choose 4} = {12 \choose 8} = \frac{12!}{4!\cdot{}8!}=&495 \\ \quad \\ & \rightarrow & {12 \choose 5} = {12 \choose 7} = \frac{12!}{5!\cdot{}7!}=&792 \\ \quad \\ & \rightarrow & {12 \choose 6} \phantom{= {12 \choose 6}}= \frac{12!}{6!\cdot{}6!}=&924\end{array}[/tex]

[ammornil]

Посоката на развитието би трябвало да се определя от наредбата на a и b в степента $(a+b)^n$ според мен, така че няма двузначност.

Ако е така, тогава ако [tex]k[/tex] започва от нула то за да бъде многочленът в низходящ ред на степените на първото събираемо, развитието трябва да има вида [tex]\\ \sum_{k=0}^{12} {12 \choose k} x^{(12-k)}x^{-2k}=\sum_{k=0}^{12} {12 \choose k} x^{(12-3k)} \\[/tex], откъдето [tex]12-3k=0 \Rightarrow k=4 \Rightarrow[/tex] петият член удовлетворява условието.

[pipi langstrump]

Да, вярно, че е така. Аз формулата я преписах от уикипедия без да й обърна подобаващо внимание.

[Гост]

Благодаря ви! Страхотни сте!