Задача от индукция

[delishh]

Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството:
∑ [k.(n над k).2^k] = 2n.3^(n-1) (чрез индукция)

[martin123456]

да преведа
[tex]\sum{k{n \choose k}2^k}=2n.3^{n-1}[/tex]
к как се мени?

[martin.nikolov]

Разгелждаме

[tex](x+1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k} x^k[/tex]

Диференцираме

[tex]n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} kx^{k-1}[/tex]

умнижаваме по х

[tex]xn(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} kx^{k}[/tex]

заместваме с х=2

[tex]2n(2+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n{n \choose k} k2^{k}[/tex]

Задачата е да се докаже това последното по индукция.

[Kiro]

Малко помощ как да се докаже ?