Нехомогенно рекурентно уравнение

[apff]

Да се намери явен вид за членовете на редицата: [tex]a_{n+1}=4a_{n}-3a_{n-1}+4n+2, a_{0}=1, a_{1}=3[/tex] Много ще съм благодарен за едно наистина подробно обяснение на решението, защото грам не ги вдявам тия задачи. Благодаря предварително

[allier]

Задачите от редици са сравнително лесни. Ще ти обясня подробно.

Принципът е следният. Конструираш си характеристично уравнение. Гледаш само членовете в които има a, т.е. редицата, и намираш този член с най-малък индекс - в случая n-1. Заместваш този член с 1-ца, а всеки следващ индекс, n, n+1, n+2,... заместваш с x, [tex]x^2[/tex], [tex]x^3[/tex], ... Ако някой индекс липсва, например ако няма n+1, а има n+2, n+2 заместваш със съответното му, т.е. [tex]x^3[/tex], а не [tex]x^2[/tex].

В конкретния случай уравнението става [tex]x^2=4x-3[/tex], което има корени 1 и 3. Това е хубаво, защото корените са различни. Когато уравнението е от по-висока степен например, може да се случи два корена да са равни и тогава леко се изменя процедурата.

След като намериш корените на така полученото характеристично уравнение, конструираш тъй нареченото общо решение. [tex]A(n)=c_{1}1^n+c_{2}3^n[/tex], където [tex]c_{1},c_{2}[/tex] са някакви числа, които все още не знаеш.

Ако [tex]4n+2[/tex] липсваше, щеше да бъде нужно само да намериш тези липсващи числа, като засечеш с началните условия за редицата, т.е. да решиш [tex]A(0)=a_{0}, A(1)=a_{1}[/tex]. За съжаление, в случая трябва да се свърши още малко работа. Трябва да намериш тъй нареченото частно решение B(n), т.е. каквато и да е функция, която изпълнява условието на задачата. Има си начини да се намери такава функция, но в основни линии, идеята е да я търсиш от степен равна или по-голяма от степента на оставащия член, т.е. на [tex]4n+2[/tex]. В случая търсим квадратно решение [tex]B(n)=an^2+bn+c[/tex]. Заместваш в уравнението и получаваш следното: [tex]a(n+1)^2+b(n+1)+c = 4an^2+4bn+4c - 3a(n-1)^2-3b(n-1)-3c+4n+2[/tex]. Това се преработва след разкриване на скоби до следния вид: [tex]an^2+(2a+b)n+a+b+c = an^2+(4b+6a-3b+4)n+(4c-3a+3b-3c+2)[/tex]. Оттук получаваш като сравниш коефициентите пред степените на n, [tex]2a+b=b+6a-4[/tex],[tex]a+b+c=c-3a+3b+2[/tex], откъдето [tex]a=1, b=1[/tex], следователно тъй като за c няма ограничения, можеш да го избереш произволно, т.е. 0. В крайна сметка, [tex]B(n)=n^2+n[/tex] върши работа.

И накрая, след толкова много сметки, остава да конструираш финалното решение. Пълното решение на уравнението се намира като събереш общото и частното решение т.е. [tex]a_{n}=A(n)+B(n)=c_{1}+c_{2}3^n+n^2+n[/tex]. Сега след като имаш формулата вече, решаваш системата [tex]a_{0}=1, a_{1}=3[/tex] и намираш стойностите на c-тата, които вършат работа.

[apff]

Страхотен си allier, имаш едно огромно благодаря от мен

[martin.nikolov]

allier, е написал какъв е общия метод. Ето едно друго решение на задачата. Записваме рекурентната връзка като

[tex]a_{n+1}-a_n+2(n+1)+2=3(a_n-a_{n-1}+2n+2)[/tex]

Което се проверява директно. Полагаме

[tex]b_n=a_n-a_{n-1}+2n+2[/tex] откъдето [tex]b_1=a_1-a_0+4=6[/tex] и [tex]b_{n+1}=3b_n[/tex]. Новата редица е геометрична прогресия. Пресмятаме сумта

[tex]b_1+b_2+\cdots b_n=6\frac{1-3^n}{1-3}=3(1-3^n)[/tex]

Забелязваме, че в

[tex]b_1+b_2+\cdots b_n=(a_1-a_0+2(1)+2)+(a_2-a_1+2(2)+2)+\cdots+(a_n-a_{n-1}+2(n)+2)[/tex]

почти всички [tex]a_i[/tex] се унищожават и сумата е равна на

[tex]a_n-a_0+2(1+2+3+\cdots+n)+2n=a_n-1+2\frac{n(n+1)}2+2n[/tex]

и от тук може да намерим общия член.