Комбинаторика

[gsinekliev]

Да се намерят всички редици от естествени числа [tex](x_1,x_2, \dots , x_7)[/tex], такива че :
a) Всяко от числата [tex](x_1,x_2, \dots , x_7)[/tex] се дели на 6 без остатък и сумата им е равна на 60
б) Всяко от числата [tex](x_1,x_2, \dots , x_7)[/tex] НЕ се дели на 6 без остатък и сумата им е равна на 60.
За а) получавам[tex]\left(\left(\frac{7}{10}\right)\right)[/tex], с б) почти до никъде не стигам. Например ако всички числа даваха остатък 1 при деление на 6 то сумата не може да бъде 60. Въпросът ми е как можем да преброим всевъзможните остатъци и за всяка тяхна конфигурация всевъзможните [tex]x_I[/tex] така че да се получи сума 60.
Забележка:
[tex]\frac{7}{10}[/tex] e 7 над 10(не знам как се пише двоен бином)
[tex]0 \in N[/tex]

[Гост]

a) Нека [tex]x_i=6y_i, \hspace{2mmm}y_i\ge 1[/tex]. Тогава [tex]y_1+y_2+\cdots +y_7=10[/tex]. Полагаме [tex]y_i=z_i+1,\hspace{2mm}z_i\ge 0[/tex]. Уравнението става [tex]z_1+z_2+\cdots+z_7=17[/tex]. За последното търсим броят на целочислените неотрицателни решения. Има формула, че той е [tex]{17+7-1 \choose 17}[/tex]
б) всички решения на [tex]x_1+x_2+\cdots +x_7=60[/tex]: полагаме [tex]y_i=x_i-1\ge 0[/tex]. Броят на решенията на уравнението [tex]y_1+y_2+\cdots +y_7=67[/tex] в цели неотрицателни числа е [tex]{67+7-1\choose 67}[/tex].
От тях просто вадим резултата в а)