Задача от линейни рекурентни редици

[tengam]

Да се намери общият член на редицата, зададена с a1 = 1; a2 = 2,
[tex]a_n = 3a_{n-1}- 2a_{n-2} + 1[/tex] n≥3:

на мен ми излиза при решаването: [tex]a_n = \frac{1}{2}*2^n-1*1^n+1[/tex]
за общ член. Можете ли да ми кажете дали е това отговора?

[Гост]

Ми не е, понеже като се замести в рекурсивния израз не се получава тъждество.
[tex]a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}+1[/tex]
[tex]a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}+1[/tex]
Вадим
[tex]a_{n+1}-a_n=3(a_n-a_{n-1})-2(a_{n-1}-a_{n-2})[/tex]. Полагаме [tex]b_i=a_{i+1}-a_i[/tex]
[tex]b_n=3b_{n-1}-2b_{n-2}[/tex]. Последното решаваме, характеристичният полином има корени [tex]x_1=1, x_2=2\Rightarrow b_n =c_12^n+c_2[/tex].
Значи [tex]a_{n+1}-a_n=c_12^n+c_2[/tex]
Като имаме предвид, че [tex]a_2-a_1=1=2c_1+c_2, a_3-a_2=3=4c_1+c_2\Rightarrow c_1=1, c_2=-1\Rightarrow a_{n+1}=a_n+2^n-1[/tex]
Събираме [tex]a_{i}=a_{i-1}+2^{i-1}+1, i=1,2,...,n[/tex]
[tex]a_n=a_1+(2^1+2^2+...2^{n-1})-(n-1)\Rightarrow a_n=1+2(2^{n-1}-1)- n+1=2^n-n[/tex]