E=mc2

[freddy]

Здравейте! Моля, някой да обясни как се достига до това уравнение, щото в учебника по физика е дадена само крайната формула, но не и начина, по който се достига до нея.

[ammornil]

Математичското извеждане може да се направи от няколко изходни точки. Най-популярни са доказателствата основани на законите на Класическата механика, като например от Втория закон на Нютон или от Сила на Лоренц. Редно е да се направи доказателство в [tex]R^3[/tex] векторно пространство, но аз ще ти предложа един гимназиален вариант, просто за да добиеш идея. Посочените равенства ще се наложи да приемеш на доверие.
Уточнявам: Връзката между маса и енергия е универсална, и не се отнася само за корпускулярните тела по време на механично движение.

Дадено е тяло с маса в покой [tex]m_{_{0}}[/tex], което се движи със скорост [tex]v[/tex] която скорост е близка до скоростта на светлината. При това положение почти цялата енергия на тялото е кинетична. Разглеждаме крайно малкия интервал от време [tex]dt \rightarrow 0[/tex] за който тялото изминава път по траекторията си [tex]dx[/tex].

Моментната скорост се определя с израза:
[tex]v=\frac{dx}{dt}[/tex]

Знаем, че масата на тялото ще се измени поради високата скорост на движение и тялото ще има маса [tex]m[/tex], която зависи от скоростта съгласно израза:
[tex]m=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}.m_{_{0}}[/tex]

Първата производна на масата при диференциране спрямо скоростта е:
[tex]\frac{dm}{dv}=\frac{m_{_{0}}.\frac{v}{c^{2}}}{sqrt{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{3}}}[/tex], при което [tex]\hspace{6} \Rightarrow m=\frac{c^{2}-v^{2}}{v}.\frac{dm}{dv}[/tex]

Импулсът на движението е:
[tex]p= m.v[/tex]

Равнодействащата сила е:
[tex]F=\frac{dp}{dt}= \frac{d(m.v)}{dt}=v.\frac{dm}{dt}+m.\frac{dv}{dt}=v.\frac{dm}{dt}+\frac{c^{2}-v^{2}}{v}.\frac{dm}{\cancel{dv}}.\frac{\cancel{dv}}{dt}=\frac{c^{2}}{v}.\frac{dm}{dt} \hspace{3} |.dt[/tex]

[tex]F.dt=\frac{c^{2}}{v}.dm \hspace{3} |.v \hspace{6} \Leftrightarrow \hspace{6} F.(v.dt)=c^{2}.dm \hspace{6} \Leftrightarrow \hspace{6} F.dx=c^{2}.dm[/tex]

Отляво е работата, която се извършва за преместване, но работата и енергията са еднородни, следователно:
[tex]A=c^{2}.m \hspace{6} \Leftrightarrow \hspace{6} E=c^{2}.m[/tex]

---
Това е само онагледяване на доказателството със средствата на елементарната математика.